📂선형대수

쌍대 공간

쌍대공간

정의1¹

벡터공간 $X$의 모든 연속인 선형 범함수들의 집합을 $X^{ \ast }$로 표기하고 이를 $X$의 쌍대공간^{dual space}, 간단히 $X$의 듀얼이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$X^{ \ast }:=\left\{ x^{ \ast }:X\to \mathbb{C}\ |\ x^{ \ast } \text{ is continuous and linear} \right\}$$

$$X^{ \ast }:=B(X,\mathbb{C})$$

$B \left( X, \mathbb{C} \right)$는 정의역이 $X$고 공역이 $\mathbb{C}$인 유계 선형작용소의 집합이다.

정의2²

체 $F$위의 벡터공간 $X$에 대해서, $X$ 위의 선형범함수들의 집합을 $X$의 쌍대공간^{dual space}이라하고, $X^{\ast}$라 표기한다.

$$X^{\ast} = L(X, F)$$

$L(X, F)$는 $X$에서 $F$로의 모든 선형변환들의 집합이다.

설명

• 선형 작용소의 성질에 의해 연속이라는 조건은 유계라는 조건과 동치이다.
• 쌍대공간의 기호로 $\ast$가 아니라 $^{\prime}$ 을 사용하기도 한다.

정의상 쌍대공간의 쌍대공간에 대해서도 말할 수 있다. 이 경우 $X^{\ast \ast}=\left( X^{ \ast } \right)^{ \ast }$와 같이 표기하고 바이듀얼^bidual, 더블 듀얼^{double dual}, 세컨드 듀얼^{second dual}등으로 부른다.

오퍼레이터 놈 $\displaystyle \| f \| = \sup_{\substack{x \in X \\ \| x \| =1}} | f(x) |$ 에 대해 $(X^{ \ast } , \| \cdot \| )$ 은 바나흐 공간이 된다. 이에 대해 다음의 정리가 성립한다.

정리

$X$가 유한차원 벡터공간이면 다음이 성립한다.

$$\dim X^{ \ast } = \dim X$$

증명

방법1¹

전략: $\dim X$ 의 베이시스를 이용해 $\dim X^{ \ast }$ 가 유한 차원이 되게끔 하는 베이시스를 만든다.

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$\dim X = n$ 이라고 하면 $X$ 는 유한 차원이므로 베이시스 $\left\{ \tilde{ e_{1} } , \cdots , \tilde{ e_{n} } \right\}$ 를 갖는다.이에 대해 $\displaystyle e_{j} : = {{ \tilde{e_{j} } } \over { \| \tilde{ e_{j} } \| }} \in X$ 이라고 하면 $\| e_{j} \| = 1$ 이고 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 은 여전히 $X$ 의 베이시스다. 이제 $e_{j}^{ \ast } : (X , \| \cdot \| ) \to ( \mathbb{C} , | \cdot | )$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$e_{j}^{ \ast } (e_{i}) := \delta_{ij}$$

선형작용소의 성질

$T : (X , \| \cdot \|_{X}) \to ( Y , \| \cdot \|_{Y} )$ 가 선형작용소라고 하자. $X$ 가 유한 차원 공간이면 $T$ 는 연속이다.

$\dim X = n$ 이라고 가정했으므로 $e_{j}^{ \ast }$ 는 연속인 선형범함수다.

선형범함수가 선형독립결합으로 나타나는 필요충분조건

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ 가 정의역이 $X$ 인 선형범함수라고 하자.

$f_{1} , \cdots , f_{n}$ 이 선형독립 $\iff$ $f_{j} (x_{i} ) = \delta_{ij}$ 을 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 이 존재

위 정리에 의해 $\beta^{\ast} = \left\{ e_{1}^{\ast}, \dots, e_{n}^{\ast} \right\}$는 선형 독립이다. $f \in X^{ \ast }$ 을 임의의 $\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \in X$ 에 작용시키면

$$f(x) = f\left( \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} t_{i} f(e_{i} ) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) t_{i}$$

$\displaystyle t_{i} = e_{i}^{ \ast } \left( \sum_{k=1}^{n} t_{k} e_{k} \right) = e_{i}^{ \ast } (x)$ 이므로

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } (x) = \left[ \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \right] (x)$$

따라서

$$f = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i} ) e_{i}^{ \ast } \in \text{span} \left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$$

즉 $\beta^{\ast} = \left\{ e_{1}^{ \ast } , \cdots , e_{n}^{ \ast } \right\}$가 선형 독립이고, $X^{\ast}$를 생성하므로 $X^{ \ast }$의 기저이다.

$$\dim X^{ \ast } = n$$

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방법2²

$\dim(L(X,F)) = \dim(X)\dim(F)$이므로,

$$\dim(X^{\ast}) = \dim(L(X,F)) = \dim(X)\dim(F) = \dim(X)$$

■

정리의 증명자체는 이것으로 끝이지만 $X^{\ast}$의 기저를 구체적으로 찾아보자. $X$의 순서기저를 $\beta = \left\{ x_{1}, \dots, x_{n} \right\}$이라 하자. 그리고 $f_{i}$를 $i$번째 좌표함수라고 하자.

$$f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$$

그러면 $f_{i}$는 $X$ 위에서 정의된 선형범함수다. 이제 $\beta^{\ast} = \left\{ f_{i}, \dots, f_{n} \right\}$이라고 하자.

Claim: $\beta^{\ast}$는 $X^{\ast}$의 (순서)기저이다

$\dim (X^{\ast}) = n$인 것을 이미 알고 있으므로, $\span(\beta^{\ast}) = X^{\ast}$인 것만 보이면 된다. 즉 임의의 $f \in X^{\ast}$가 $f_{i}$들의 선형결합으로 나타남을 보여야 한다. 이제 주어진 $f$에 대해서, $g = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}$라고 하자. 그러면 사실 이 $g$가 바로 $f$이며, $f$가 $f_{i}$들의 선형결합으로 나타남을 알 수 있다. $1 \le j \le n$에 대해,

$$g(x_{j}) = \left( \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i} \right) (x_{j}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}(x_{j}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\delta_{ij} = f(x_{j})$$

그러므로 $g=f$이고, $f = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i})f_{i}$이다. 따라서 $\beta^{\ast}$는 $X^{\ast}$를 생성한다.

쌍대 기저

위의 표기법을 따라서, $X^{\ast}$의 순서기저 $\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}$를 $\beta$의 쌍대 기저^{dual basis}, 상호 기저^{reciprocal basis}라 한다.

$$f_{i} : X \to \mathbb{F} \quad \text{ by } \quad f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$$

이때 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다.