📂추상대수

추상대수학에서의 아이디얼

정의 ¹

환 $(R , + , \cdot )$ 의 모든 $a,b \in R$ 에 대해 $a I \subset I$ 와 $I b \subset I$ 을 만족하는 부분군 $(I, +)$ 을 아이디얼^ideal이라 한다.

설명

간단한 예시로써 $n \mathbb{Z}$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼이 된다. 아이디얼이라는 명명은 말 그대로 이상적인^ideal에서 왔다. 추상대수에서 다루기에 이상적인 부분군이기 때문에 실제로 그렇게 부르는 것이다.

특히 $R$ 이 가환환이라면 $I$ 가 $R$ 의 정규부분군이 된다는 센스에서 그냥 $I \triangleleft R$ 이라고도 쓴다. 정규부분군이 군론에서 중요했듯 아이디얼도 환론의 온갖 정리에서 중요하게 등장할 것임을 짐작할 수 있다. 하필 환론이라고 하는 것은 아이디얼이 사실상 환만의 개념이기 때문이다.

아이디얼 $I$ 는 $R$ 의 부분환이다.

정의에선 군과의 대비를 강조하기 위해 조건을 만족하는 ‘부분군’이라고 했지만 사실 자연스럽게 부분환이 되기도 한다. 굳이 증명까진 하지 않겠지만 쉽게 이해가 되지 않는다면 $a I \subset I$ 와 $I b \subset I$ 라는 조건을 잘 생각해보면 된다. 느낌상 $I$ 는 $R$ 의 모든 원소에 대해 ‘곱셈을 가했을 때’ 여전히 대수구조로써 있을 수 있게 ‘버텨낸 원소들의 집합’이다. 상식적으로 이렇게 만들어낸 $(I , \cdot )$ 은 적어도 $(R , + , \cdot)$ 에 대해 반군정도는 되어줄 수 있을 것이다. 물론 이 설명은 수학적이지 않으므로, 정 의심스럽다면 부분환 판정법을 이용해 직접 확인해보자. 사실 교재에 따라선 아예 정의부터 부분환으로 정의하기도 한다.