📂추상대수

아이젠슈타인 판정법

정리 ¹

$f(x) = a_{n} x^{n} + \cdots + a_{0 } \in \mathbb{Z} [ x ]$ 가 소수 $p \in \mathbb{Z}$ 와 $k = 0,1,2, \cdots , n-1$ 에 대해 다음 조건들을 만족하면 $f(x)$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 기약함수다.

• (i): $a_{n} \not\equiv 0 \pmod{p}$
• (ii): $a_{k} \equiv 0 \pmod{p}$
• (iii): $a_{0} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$

설명

$f(x) = ax^{n} + b$ 꼴의 정수다항식에 대해 아주 쉬운 판정법으로써 의미가 있다. $\mathbb{Q}$ 에 대한 판정법이라는 점에서 대수적 수와 관련된 논의에서 유용하게 쓰일 수 있다.

예제

$f(x) = 25 x^{5} - 9 x^4 - 3 x^2 - 12$ 가 $\mathbb{Q}$ 상에서 기약함수임을 보여라.

풀이

• (i) $25 \not\equiv 0 \pmod{3}$
• (ii) $-9 \equiv -3 \equiv 0 \pmod{3}$
• (iii) $12 \not\equiv 0 \pmod{9}$

$p=3$ 에 대해 아이젠슈타인 판정법을 적용해보면 $f(x)$ 는 기약함수다.

증명

$f(x) \in \mathbb{Z} [ x ]$ 는 차수가 $r<n$ 인 $R(x)$ 와 차수가 $s<n$ 인 $S(x)$ 에 대해 $f(x) = R(x) S(x)$ 이라고 하면 $$R(x) , S(x) \in \mathbb{Q} [ x ] \iff R(x) , S(x) \in \mathbb{Z} [ x ]$$ 임을 알 수 있다. $Z[x]$ 에서 $$f(x) = (b_{r} x^{r} + \cdots + b_{0}) (c_{s} x^{s} + \cdots + c_{0})$$ 가 세 조건 (i), (ii), (iii)을 만족한다고 가정하면 조건 (iii)에서 $$b_{0} c_{0 } = a_{0} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$$ 이므로 $b_{0}$ 와 $c_{0}$ 가 동시에 $$b_{0} \equiv c_{0} \equiv p \equiv 0 \pmod{p}$$ 은 아니다. 대신 둘 중 하나가 합동인 경우인 $$\begin{cases} b_{0} \not\equiv 0 \pmod{p} \\ c_{0} \equiv 0 \pmod{p} \end{cases}$$ 를 생각해보면 조건 (i)에서 $$b_{r} c_{s} = a_{n} \not\equiv 0 \pmod{p}$$ 이므로 $$\begin{cases} b_{r} \not\equiv 0 \pmod{p} \qquad \cdots (\star) \\ c_{s} \not\equiv 0 \pmod{p} \end{cases}$$ 이어야한다.

이제 $c_{k} \not\equiv 0 \pmod{p}$ 를 만족하는 $k$ 중에 가장 작은 값을 $m$ 이라고 해보면 $$a_{m} = b_{0 } c_{m} + b_{1} c_{m-1} + \cdots + \begin{cases} b_{m} c_{0} & , r \ge m \\ b_{r} c_{m-r} & , r<m \end{cases}$$ 이다. $(\star)$ 에서 $b_{0} \not\equiv 0 \pmod{p}$ 이고 $m$ 의 정의에 의해 $c_{m} \not\equiv 0 \pmod{p}$ 이므로 $$c_{m-1} \equiv \cdots \equiv c_{0} \equiv 0 \pmod{p}$$ 이다. 따라서 $$a_{m} \not\equiv 0 \pmod{p}$$ 이고, 조건 (i)와 (ii)에 따라 $m=n$ 이어야한다.

결국 $s \ge m = n$ 인데, 이는 $s < n$ 라는 전제에 모순이다.

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