📂행렬대수

방데르몽드 행렬의 행렬식 유도

정의

서로 다른 $1, x_{1} , x_{2 } , \cdots , x_{n}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 행렬 $V_{n}$ 을 방데르몽드 행렬^{vandermonde matrix}이라고 한다.

$$V_{n} := \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{bmatrix}$$

공식

$V_{n}$ 의 행렬식은

$$\det V_{n} = \prod_{1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i})$$

설명

방데르몽드 행렬은 특이하게 생겼지만 미분방정식의 수치적 풀이에서 등장하는 등 의외로 볼 일이 많다.

$1, x_{1} , x_{2 } , \cdots , x_{n}$ 가 서로 다르다는 가정에서 $\displaystyle \prod_{ 1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i}) \ne 0$ 이며, $V_{n}$ 의 가역성이 보장된다. 이러한 팩트는 주로 연립방정식 $\mathbf{w} = V_{n} \mathbf{u}$ 의 유일해가 존재함을 보이는데 쓰인다.

유도

전략: 여러가지 방법으로 보일 수 있는데, 특히 수학적 귀납법을 사용하는 증명을 소개한다. 이 증명은 행연산 같은 걸 하지 않기 때문에 어느정도 수학을 알아야 이해할 수 있는 대신 계산이 적고 깔끔해서 좋다. 중간에 등장하는 인수 정리와 대수학의 기본정리는 중요한 팩트지만 증명의 맥락에선 중요하지 않으므로 몰라도 상관 없다.

명제 $\displaystyle P(n) : \det V_{n} = \prod_{ 1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i})$ 를 정의하자.

**Part 1. $n=1,2$

$$P(1) : \det V_{1} = | 1 | = 1 \\ P(2) : \det V_{2} = \left| \begin{matrix} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} \right| = x_{2} - x_{1}$$

따라서 $P(n)$ 은 $n=1,2$ 일 때 성립한다.

**Part 2. $n=k$

$\displaystyle P(k) : \det V_{k} = \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i})$ 이 성립한다고 가정하자.

**Part 3. $n=k+1$

$k+1$ 번째 변수로써 $x$ 를 추가한 다음의 방데르몽드 행렬을 다음과 같이 새로이 정의해보자.

$$V_{k}’ := \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{k} & x_{k}^{2} & \cdots & x_{k}^{k} \\ 1 & x & x^{2} & \cdots & x^{k} \end{bmatrix}$$

정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 의 $i$번째 행과 $j$ 번째 행을 제거한 행렬의 행렬식 $M_{ij}$ 과 여인자 $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ 을 정의하자. 선택된 $i$행에 대해, $\displaystyle \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$

$(k+1)$행을 선택하면 라플라스 전개에 따라 $V_{k} '$ 의 행렬식은

$$\det V_{k} ' = 1 C_{(k+1)1} + x C_{(k+1)2} + x^2 C_{(k+1)3} + \cdots + x^{k} C_{(k+1)(k+1)}$$

와 같이 $x$ 에 대한 $k$ 차 다항함수 $f(x)$ 로 나타난다. 여기서 $x$ 에 $x_{1} , \cdots , x_{k}$ 를 대입해보면 행렬 $V_{k} '$ 에 완전히 같은 두 행이 생기므로 행렬식은 $0$ 이 된다. 다항함수 $f(x)$ 를 이용해 다시 말하면

$$f(x_{1}) = \cdots = f(x_{k}) = 0$$

인수 정리와 대수학의 기본정리에 의해, $f(x)$ 는 어떤 상수 $C$ 에 대해 정확히

$$f(x) := C(x-x_{1})(x-x_{2}) \cdots (x-x_{k})$$

로 나타낼 수 있다. 한편 $x^{k}$ 의 계수 $C_{(k+1)(k+1)}$ 는 $(k+1)$행과 $(k+1)$열에 대한 여인자이므로

$$C_{(k+1)(k+1)} = (-1)^{(k+1)+(k+1)} \det \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{k-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{k-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{k} & x_{k}^{2} & \cdots & x_{k}^{k-1} \end{bmatrix} =1 \cdot \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i})$$

다시 말해 $\displaystyle C = C_{(k+1)(k+1)}$ 이므로

$$\det V_{k} ' = f(x) = \left[ \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i}) \right] \left[ (x-x_{1})(x-x_{2}) \cdots (x-x_{k}) \right]$$

보기 편하게 $x_{k+1} := x$ 라고 다시 정의하면 $V_{k} ' = V_{k+1}$ 이고,

$$P(k+1) : \det V_{k+1} = \prod_{1 \le i < j \le k+1 } (x_{j} - x_{i})$$

이 성립함을 알 수 있다. $P(k)$ 이 참일 때 $P(k+1)$ 이 참이므로 수학적 귀납법에 의해 증명이 끝난다.

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