📂추상대수

다항함수의 기약원

정의 ¹

상수함수가 아닌 $f(x) \in F [ x ]$ 가 $f(x)$ 보다 차수가 낮은 어떤 $g(x) , h(x) \in F [ x ]$ 의 곱 $f(x) = g(x) h(x)$ 으로 나타낼 수 없을 때 $f(x)$ 를 $F$ 상에서의 기약원^{irreducible element}이라 한다.

설명

예로써 $\mathbb{Q} [x ]$ 를 생각해보면 $x^2 - 2$ 은 $\mathbb{Q}$ 상에서 기약원이지만, $\mathbb{R} [ x ]$ 에서의 $x^2 - 2$ 은 $\mathbb{R}$ 상에서 $$ (x + \sqrt{2} ) ( x - \sqrt{2} ) $$ 로 인수분해가 가능하다. 또 $x^2 + 1$ 은 $\mathbb{R}$ 상에서는 기약원이지만 $\mathbb{C}$ 에서는 $$ (x + i ) ( x - i ) $$ 로 인수분해가 가능하다.

마치 위상수학에서 열림과 닫힘을 말할 때 전체집합을 어디로 보느냐가 중요한 것처럼 어디에서 기약인지를 신경 써줘야한다. 물론 정의에서 $F [ x ]$ 의 다항함수는 $F$ 상에서만 보면 되지만, $F$ 를 확장한 $E$ 에 대해서는 $f(x) \in E[x]$ 일 것이다.

이러한 기약성^{irreducibility}을 생각함으로써 우리는 인수 정리의 진정한 완성을 생각할 수 있게 된다.

정리

• [1]: 기약원 $p(x) \in F [ x ]$ 가 $r_{1} (x) \cdots r_{n} (x) \in F [ x ]$ 을 나누면 $p(x)$ 는 $r_{1} (x) , \cdots , r_{n} (x) $ 중 하나를 나누어야한다.
• [2]: $F$ 가 체면 상수함수가 아닌 모든 $f(x) \in F [ x ]$ 는 기약원의 곱들로 인수분해되는데, 그 방법은 유일하다.

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• 여기서 유일하다는 것은 그 순서나 단원^unit의 곱은 고려하지 않은 것이다. 예컨대 $$ x^2-1 = (x+1)(x-1) = [-(x+1)][-(x-1)] = (x-1)(x+1) $$ 과 같은 차이는 신경쓰지 않겠다는 것이다.

의의

이 정리는 정수론에서 등장하는 산술의 기본정리를 추상대수로 확장시킨 것으로 볼 수 있다. 인수 정리가 다항함수의 인수분해가 존재성을 증명했다면, 위의 팩트는 그것이 유일성을 보장해준다.