📂추상대수

인수 정리 증명

정리 ¹

$f(x) \in F [ x ]$ 라고 하자.

$$f(a) = 0 \iff f(x) = (x-a) q(x)$$

설명

중학교부터 지겹도록 해온 인수분해의 존재성을 보장하는 정리다. 주의할 것은 나눗셈 정리나 인수 정리와 같은 팩트들은 다항함수의 차수가 유한할 때 의미가 있다는 것이다.

증명

$( \implies )$

나눗셈 정리: $a_{n} \ne 0$ 과 $b_{m} \ne 0$, 그리고 $n > m > 0$ 에 대해 $F [ x ]$ 의 두 원소를 $$f(x) = a_{n} x^{n} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \\ g(x) = b_{m} x^{m} + \cdots + b_{1} x + b_{0}$$ 이라고 하자. 그러면 $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ 를 만족하는 $q(x), r(x) \in F [ x ]$ 이 유일하게 존재한다. $r$ 의 차수는 $m$ 보다 작다.

나눗셈 정리에 의해 $f(x) = (x-a) q(x) + r(x)$ 를 만족하는 $q(x) , r(x) \in F [ x ]$ 이 유일하게 존재한다. $(x -a )^{1}$ 의 차수는 $1$ 이므로 $r(x)$ 의 차수는 $0$, 즉 어떤 상수 $c$ 에 대해 $r(x) = c$ 이다. 그러면 $$f(x) = (x-a) q(x) + c$$ 에 $x = a$ 을 대입하면 $$0 = f(a) = 0 q(a) + c = c$$ 이다. 따라서 $f(x) = (x-a) q(x)$ 이다.

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$( \impliedby )$ $$f(x) = (x-a) q(x)$$ 에 $x = a$ 을 대입하면 $f(a) = 0 q(a) = 0$ 을 얻는다.

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