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리즈 정리 증명

정리 ¹

놈 공간 $(X , \left\| \cdot \right\|)$의 스칼라 필드를 $\mathbb{C}$라고 하자. 그러면

$X$는 유한차원이다. $\iff$ $\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$은 컴팩트다.

설명

$\overline{ B ( 0 ; 1 ) } := \left\{ x \in X : \| x \| \le 1 \right\}$는 닫힌 유닛 볼을 나타낸다. 리즈 정리에 따르면 전체 공간이 유한차원인지 판단하기 위해 아주 작은 영역만 체크하면 된다. 보통 유한 차원 놈드 스페이스의 예시를 생각하면 했지 그 필요충분조건을 고민하지 않는다는 점에서 정말 수학다운 정리라고 할 수 있겠다.

증명

Strategy: 다루기 쉬운 $\mathbb{C}^{n}$ 에서 $X$ 로 간단한 호메오몰피즘을 주어서 $\mathbb{C}^{n}$ 에서의 컴팩트성을 $X$ 으로 넘긴다. 역방향으로는 $\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$ 의 컴팩트성을 근거로 어떤 유한차원 벡터 공간을 만들어 낸 후, 그것이 실제로는 $X$ 를 포함함을 보인다.

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• $(\implies)$

  $\dim X = n$ 이라 하면 $X$ 의 기저 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 가 존재한다. 이에 대해 함수 $f : ( \mathbb{C}^{n} , \| \cdot \|_{1} ) \to (X , \| \cdot \| )$ 을 $f(\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) : = \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$ 과 같이 정의하면 $f$ 는 연속인 전단사다.

  $\mathbb{C}^{n}$ 에서의 클로즈드 유닛 볼 $\overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } = \left\{ (\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}) \in \mathbb{C}^{n} \ | \ | \lambda_{1} | + \cdots + | \lambda_{n} | \le 1 \right\}$ 은 하이네-보렐 정리에 의해 컴팩트다. $f$ 는 연속이므로 $f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$ 역시 컴팩트다.

  한편 $\| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| \le | \lambda_{1} | + \cdots + | \lambda_{n} |$ 이므로 $\overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$ 이다. $\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$는 컴팩트셋 $f \left( \overline{ B_{ \| \cdot \|_{1} } ( 0 ; 1 ) } \right)$ 에서 닫힌 부분집합이므로 컴팩트다.

• $(\impliedby)$

  $0 < \varepsilon < 1$ 이라고 하자.

$\overline{ B ( 0 ; 1 ) }$ 는 컴팩트이므로 오픈커버 $\displaystyle \bigcup_{x \in \overline{ B ( 0 ; 1 ) } } { B \left( x ; \varepsilon \right) }$ 에 대해 $\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{i=1}^{m} B \left( x_{i} ; \varepsilon \right)$ 를 만족하는 유한 서브커버가 존재한다. 이에 대해 $M := \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ 이라고 하자.

$\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{i=1}^{m} B \left( x_{i} ; \varepsilon \right)$ 은 다시 말해 $\displaystyle \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon \right)$ 이 성립한다는 것이다. 애초부터 $ m \in \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\}$ 이므로, 볼의 지름 $\varepsilon$ 은 아무리 작게 잡더라도 위 포함관계는 계속해서 성립한다. 따라서 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해

$$ \overline{ B ( 0 ; 1 ) } \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon \right) \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon^2 \right) \subset \cdots \subset \bigcup_{ m \in M } B \left( m ; \varepsilon^k \right) $$

이제 영벡터가 아닌 임의의 $x \in X$ 를 생각해보면 어떤 $y_{k} \in M$, $\displaystyle z_{k} : = B ( 0 ; \varepsilon^k )$ 에 대해

$$ {{ x } \over { \| x \| }} = y_{k} + z_{k} $$

$k \to \infty$ 일 때 $z_{k} \to 0$ 이므로

$$ y_{k} = {{ x } \over { \| x \| }} - z_{k} \to {{ x } \over { \| x \| }} \in \overline{ M } = M $$

즉 $x \in M$ 이므로 $X \subset M$ 인데 $M \subset X$ 이므로

$$ X = \text{span} \left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} $$

따라서 $X$ 는 유한차원 벡터 공간다.

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같이보기

유클리드 공간으로부터의 일반화

리즈 정리는 놈 공간에서 클로즈드 유닛 볼 $\overline{B (0;1)}$ 의 컴팩트성을 유한차원의 동치조건으로 지적한다. 유클리드 공간에서의 $k$-셀 $[0,1]^{k}$ 은 컴팩트고, 클로즈드 유닛 볼과의 호메오멀피즘이 존재하므로 리즈 정리는 $k$-셀의 컴팩트성에 대한 일반화로 볼 수 있다.