📂추상대수

영인자와 정역

정의 ¹

1. 환 $R$ 에 대해 $ab = 0$ 을 만족시키는 $0$ 이 아닌 $a,b \in R$ 을 영인자^{zero Divisor}라 한다.
2. 단위원 $1 \ne 0$ 을 가진 $D$ 가 영인자를 가지지 않으면 정역^{integral Domain}이라 한다.

설명

영인자

$0$ 이 아닌 것끼리 곱해서 $0$ 이 되는 예시로는 $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 과 $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod{6}$ 등이 있다. 이처럼 환에서는 늘 편리하게 계산되는 것들만을 다루는 게 아니기 때문에 주의가 필요하다. 이는 가령 $xy = 0$ 이고 $x \ne 0$ 이라면 $y = 0$ 이라는 식의 주장을 할 수가 없다는 뜻이다.

정역

정역은 그 약어인 ID로도 많이 줄여쓴다.

정역의 예시로는 간단하게 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 을 들 수 있다. 애초에 정역의 정Integral 자체가 정수Integer에서 나온 것이니 당연하다. 정역의 좋은 점은 나눗셈을 할 때 $0$ 외에는 고민할 필요가 없다는 것이다. 정역에서는 $x y = 0$ 이면 $x = 0$ 또는 $y = 0$ 임을 확신할 수 있어 대수구조로써 상당히 유용하다.

$R$ 이 정역이라는 것은 $R$ 에서 곱셈에 대해 소거법칙^{cancellation law}이 성립함을 보장하며, 영인자를 가지지 않는 환이라는 점에서 체와 관계가 많다. 다음의 유용한 정리들을 살펴보자.

정리

• [1]: 체는 정역이다.
• [2]: 유한 정역은 체다.
• [3] $p$ 가 소수면 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 체다.
• [4]: 체는 $0$ 과 $1$ 오직 두가지의 멱등원만을 가진다.

증명

[1]

체 $F$ 에 대해 $a \ne 0$ 이고 $ab = 0$ 면 $$\left( {{1} \over {a}} \right) (ab) = \left( {{1} \over {a}} \right) 0 = 0$$ 이고, 동시에 $$\left[ \left( {{1} \over {a}} \right) a \right] b =1 b = b$$ 이 성립한다. 이는 $ab= 0$ 이라면 둘 중 하나는 반드시 $0$ 이어야한다는 말이므로 체의 원소는 영인자가 될 수 없고, $F$ 는 정역이다.

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[2]

유한 정역 $D$ 의 원소 중 $0$ 을 뺀 나머지 원소들을 $1, a_{1} , \cdots , a_{n}$ 이라고 하자. 여기에 $a \ne 0$ 를 곱한 $$a, aa_{1} , \cdots , aa_{n}$$ 들을 생각하면 $D$ 가 정역이므로 이 중에 $0$ 은 없다.

또한 정역에선 소거법칙이 성립하므로 $aa_{i} = aa_{j}$ 면 $a_{i} = a_{j}$ 임을 알 수 있다. 그 말인즉슨 $$a_{i} \ne a_{j} \implies aa_{i} \ne aa_{j}$$ 라는 것이고, $$\left\{ 1, a_{1} , \cdots , a_{n} \right\} = \left\{ a, aa_{1} , \cdots , aa_{n} \right\}$$ 을 얻는다. 따라서 $a \ne 0$ 에 대해서는 항상 $ab=1$ 를 만족하는 $b \in \left\{ 1, a_{1} , \cdots , a_{n} \right\}$ 가 존재함을 알 수 있다. $b$ 는 $a$ 의 곱셈에 대한 역원이므로 $D$ 는 체다.

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[3]

자명하게도 $\mathbb{Z}_{p} = \left\{ 0 , 1, \cdots , p-1 \right\}$ 은 유한 집합이다. 그런데 $p$ 가 소수이므로 $$ab \equiv 0 \pmod{p}$$ 를 만족하는 $0$ 이 아닌 $a,b \in \mathbb{Z}_{p}$ 는 존재하지 않아 $\mathbb{Z}_{p}$ 는 정역이고, 정리 [2]에 의해 체다.

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[4]

체 $F$ 에 대해 $0^2 = 0$ 이고 $1^2 = 1$ 이므로 $0$ 과 $1$ 은 $F$ 의 멱등원이다. $0$ 도 $1$ 도 아닌 멱등원 $a \in F$ 가 존재한다고 가정해보면, $a^2 = a$ 이므로 $a( a-1) = 0$ 이어야한다. 그러나 정리 [1]에 의해 $F$ 는 정역이기 때문에 영인자를 갖지 않고, 이는 가정과 모순이다.

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같이보기

• 유클리드 정역 $\implies$ 주 아이디얼 정역 $\implies$ 유일 인수분해 정역 $\implies$ 정역