📂바나흐공간

리즈 보조정리 증명

정리 ¹

놈 공간 $(X , \| \cdot \| )$ 의 부분 공간 $Y \subsetneq X$ 에 대해 $Y$ 는 닫힌 집합이라고 하자. 모든 $\theta \in (0,1)$ 와 $y \in Y$ 에 대해 $\| x_{ \theta } \| = 1$ 와 $\| x_{ \theta } - y \| > \theta$ 를 만족하는 $x_{\theta} \in X$ 가 존재한다.

증명

전략: 구체적인 $x_{\theta}$ 가 존재함을 보인 후 $\| x_{ \theta } - y \| > \theta$ 가 성립함을 보인다.

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$ x_{0 } \notin Y$ 면서 $ x_{0 } \in X$ 인 $x_{0}$ 에 대해서 $d:= \inf \left\{ \| x_{0} - y \| : y \in Y \right\}$ 이라고 하자. $d=0$ 이라고 가정해보면, $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \| x_{0} - y_{n} \| = 0$ 을 만족하는 $Y$ 의 수열 $\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} }$ 이 존재한다. 이 말은 즉 $x_{0} \in \overline{Y}$ 인데, $\overline{Y} = Y$ 이므로 $x_{0} \in Y$ 이 되어 모순이고 $d> 0$ 이어야만한다.

이제 $x_{0}$ 와 $\overline{Y}$ 의 가장자리 사이의 거리 $d$ 보다는 더 먼, $\displaystyle 0 < \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$ 를 만족하는 $y_{0} \in Y$ 가 존재한다. 이 $\theta$ 에 대해 $\displaystyle x_{ \theta } := {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }}$ 라고 하자. $y \in Y$ 면

$$ \| x_{ \theta} - y \| = \left\| {{ x_{0} - y_{0} } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} - y \right\| = {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} \left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\| $$

$(y_{0} + \| x_{0} - y_{0} \| y) \in Y$ 이고 $\left\| x_{0} - y_{0} - \| x_{0} - y_{0} \| y \right\| \ge d$ 이므로

$$ \| x_{ \theta} - y \| \ge {{1 } \over { \| x_{0} - y_{0} \| }} d $$

$\displaystyle \| x_{0} - y_{0} \| < {{d} \over {\theta }}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$ \| x_{ \theta} - y \| > {{ \theta } \over {d }} d = \theta $$

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