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유한 차원 놈 공간은 기저를 가짐을 증명 📂바나흐공간

유한 차원 놈 공간은 기저를 가짐을 증명

정리 1

모든 유한 차원 놈 공간은 기저를 가진다.

설명

특정 조건을 만족하는 기저도 아니고 기저의 존재성을 밝힌다는 것이 생소하겠지만, 실제로 기저의 정의에서 모든 벡터 공간의 기저가 존재한다고 한 적이 없다. 유한 차원을 정의하기에 따라서는 별도로 증명이 필요없을 정도로 자명한 팩트기도 하다.

증명

전략: 유한차원이라는 점을 이용해 구체적으로 기저를 구축한다.

(X,∣⋅∣)(X, | \cdot | ) 는 유한 차원이므로 span{x1,…,xn}=X\text{span} \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\} = X 를 만족하는 {x1,…,xn}\left\{x_{1} , \dots , x_{n} \right\} 가 존재한다. y1:=x1y_{1} : = x_{1} 이라고 하자. 만약 x2∈span{y1}x_{2} \in \text{span} \left\{ y_{1} \right\} 이면 x3x_{3} 을 생각하자. 만약 x2∉span{y1}x_{2} \notin \text{span} \left\{ y_{1} \right\} 이면 y2:=x2y_{2} := x_{2} 라 두자. 만약 x3∈span{y1,y2}x_{3} \in \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\} 이면 x4x_{4} 을 생각하자. 만약 x3∉span{y1,y2}x_{3} \notin \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\} 이면 y3:=x3y_{3} := x_{3} 라 두자. 이런식으로 M={y1,…,yk}M = \left\{ y_{1} , \dots , y_{k} \right\} 을 정의하면 1≤j≤k1 \le j \le k 에 대해

yj∉span{y1,…,yj−1} y_{j} \notin \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j-1} \right\}

MM 이 선형 독립이 아니라고 가정해보면 어떤 λj≠0\lambda_{j} \ne 0들에 대해

λ1y1+⋯+λkyk=0 \lambda_{1} y_{1} + \dots + \lambda_{k} y_{k} = 0

그런 jj 들 중에 가장 큰 jj 를 j0j_{0} 이라고 하면

yj0=−1λj0∑j<j0λjyj−1λj0∑j>j0λjyj=−1λj0∑j<j0λjyj y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j > j_{0}} \lambda_{j} y_{j} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j}

따라서 yj0=−1λj0∑j<j0λjyj∈span{y1,…,yj0−1}\displaystyle y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} \in \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j_{0}-1} \right\} 인데, 이는 모순이다. M⊂{x1,…,xn}M \subset \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\} 은 선형 독립이면서 spanM=X\text{span} M = X 을 만족하므로, MM 이 XX 의 기저가 된다.

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증명 과정을 잘 살펴보면 {x1,…,xn}\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\} 는 꽤나 여유롭게 XX 를 생성함을 알 수 있다. 여기서 선형 독립이 되는 것을 방해하는 것들을 다 버리고 MM 만을 취해서 구체적으로 그것이 기저임을 보인 것이다.

  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p55. ↩︎