잉여류의 성질과 그 증명
📂추상대수잉여류의 성질과 그 증명
정리
H를 군 G의 부분군이라고 하자. 그러면 군 G의 원소 a에 대해서 집합 aH={ah∣h∈H}를 좌잉여류라 한다. Ha={ha∣h∈H}를 우잉여류라 한다.
H<G,a,b∈G,h∈H라고 하자. 그러면 아래의 성질들을 만족한다.
a∈aH
aH=H⟺a∈H
aH=bH⟺a∈bH
aH=bH or aH∩bH=∅
aH=bH⟺a−1b∈H
∣aH∣=∣bH∣
aH=Ha⟺H=aHa−1
aH≤G⟺a∈H
증명
1.
H는 부분군이므로 항등원을 원소로 가진다. aH는 a와 H의 원소를 연산하여 나온 값을 원소로 가지므로 a=ae∈aH이고, a∈aH이다.
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2.
(⟹)
aH=H라고 가정하자. 그러면 성질1에 의해서 a∈aH=H이다.
(⟸)
a∈H라고 가정하자. H는 군이므로 연산에 닫혀있다. 따라서 ah∈H이고, aH의 임의의 원소가 H에 들어가므로 aH⊂H이다. 같은 이유로 a−1h∈H에서
h=eh=(aa−1)h=a(a−1h)∈aH
이고, H의 임의의 원소가 aH에 들어가므로 H⊂aH이다. 포함관계가 양쪽으로 성립하므로, aH=H이다.
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3.
(⟹)
aH=bH라고 가정하자. 성질1에 의해 a∈aH이고 가정에 의해 a∈bH 다.
(⟸)
a∈bH라고 가정하자. 그러면 a=bh로 나타낼 수 있고, 다음을 얻는다.
aH=(bh)H=b(hH)=bH
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4.
c∈aH∩bH를 만족하는 c가 존재한다고 하자. 그러면 성질3에 의해 cH=aH이고 cH=bH이므로 aH=bH다. 반대로 c∈aH∩bH를 만족하는 c가 존재하지 않는다고 하면 aH∩bH=∅ 이다.
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5.
(⟹)
aH=bH라고 가정하자. 그러면 성질3에 의해 b∈aH이고 b=ah라고 나타낼 수 있으므로 a−1b=a−1(ah)=h∈H이다.
(⟸)
a−1b∈H라고 가정하자. 그러면 a−1b=h이고 b=ah이다. b=ah∈aH이고 성질3에 의해서 aH=bH이다.
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6.
함수 f:aH→bH 를 생각해보자. ah를 bh에 대응시키면 함수 f는 전단사함수가 된다. 따라서 ∣aH∣=∣bH∣다.
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7.
(⟹)
aH=Ha라고 가정하고 aH를 다시 H′이라고 하자. 그러면 aH=Ha=H′이고 H′a−1=H′a−1인 것은 자명하다. 양변의 H′에 각각 aH와 Ha를 대입하면
(aH)a−1=(Ha)a−1=H(aa−1)=H
이므로 aHa−1=H다.
(⟸)
H=aHa−1라고 가정하고 위와 같은 방법으로 Ha=aHa−1a=aH를 얻을 수 있다.
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8.
(⟹)
aH가 G의 부분군이라고 가정하면 e∈aH이다. 그런데 e∈H이므로 aH∩eH=∅이다. 성질4에 의해 aH=eH=H을 만족한다. 성질2에 의해 a∈H 다.
(⟸)
a∈H라고 가정하자. 성질2에 의해 aH=H이다. H는 G의 부분군이므로 aH도 G의 부분군이다.
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같이보기
