파푸스-굴딘 정리 증명
정리
$yz$-평면 상의 도형 $F$ 의 넓이를 $A$ 라고 하고 $F$ 를 $z$-축으로 회전시켜서 얻은 회전체 $W$ 의 부피를 $V$ 라고 하자. $z$-축과 $F$ 의 무게중심 사이의 거리를 $r$ 이라고 하면 $$ V = 2 \pi r A $$
설명
파푸스-굴딘 정리는 고등학교 수준으로는 증명할 수 없지만 회전체에 대해 배울때 선생님들이 심심찮게 언급하는 정리다. 막상 학부수준의 수학을 공부하면 증명은 할 수 있지만 의외로 볼 일이 거의 없다.
증명
Claim: $F$ 의 무게중심은 $\displaystyle r = {{ \iint_{F} y dA } \over {A}}$ 이므로 $\displaystyle V = 2 \pi \iint_{F} y dA $ 임을 보이면 된다.
Part 1.
함수 $\Phi_{1} : F ' \to F$ 를 $\Phi (u,v) = (0,y(u,v),z(u,v))$ 와 같이 정의하면 $\Phi_{1}$ 는 전단사가 된다. 이를 이용해서 좌표를 변환하면 야코비안은 $$ \left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} \end{bmatrix} \right| = \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| $$ 따라서 $F$ 의 넓이는 $$ A = \iint_{F} dA = \iint_{F ' } \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv $$
Part 2.
$ W’ := F ' \times [0, 2 \pi ]$ 이라고 하자. 함수 $\Phi_{2} : W’ \to W$ 를 $\Phi (u,v, \theta ) = (y(u,v) \cos \theta ,y(u,v) \sin \theta ,z(u,v))$ 와 같이 정의하면 $\Phi_{2}$ 는 전단사가 된다. 이를 이용해서 좌표를 변환하면 야코비안은 $$ \begin{align*} &\left| \det \begin{bmatrix} \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \cos \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \cos \theta & \displaystyle -y \sin \theta \\ \displaystyle {{\partial y } \over { \partial u }} \sin \theta & \displaystyle {{\partial y } \over { \partial v }} \sin \theta & \displaystyle y \cos \theta \\ \displaystyle {{\partial z } \over { \partial u }} & \displaystyle {{\partial z } \over { \partial v }} & 0 \end{bmatrix} \right| \\ =& \left| - {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \cos^2 \theta + {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \cos^2 \theta - \left( {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y \sin^2 \theta - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \sin^2 \theta \right) \right| \\ =& \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} y - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} y \right| \\ =& y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| \end{align*} $$ 첫번째 등호는 3번째 행에 대한 라플라스 전개에 의해 성립한다. 따라서 $W$ 의 부피는 $$ V = \iiint_{W} dV = \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta $$
Part 3.
위에서 얻은 결과들을 합치면 $$ \begin{align*} V =& \iiint_{W’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi } \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv d \theta \\ & = 2 \pi \iint_{F’} y \left| {{\partial y } \over { \partial u }} {{\partial z } \over { \partial v }} - {{\partial y } \over { \partial v }} {{\partial z } \over { \partial u }} \right| du dv \\ =& 2 \pi \iint_{F} y dA \end{align*} $$
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