립시츠 조건
정의
우리는 1계 미분방정식에 대한 존재성-유일성 정리의 스테이트먼트에서 립시츠 조건lipschitz condition을 발견할 수 있다.
$D \subset \mathbb{R}^2$ 에서 정의된 연속함수 $f$ 에 대해 초기값 문제 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ y( x_{0} ) = Y_{0} \end{cases}$ 가 주어져 있다. $f$ 가 모든 $(x,y_{1}) , (x , y_{2} ) \in D$ 와 $K > 0$ 에 대해 립시츠 조건 $$ |f(x,y_{1} ) - f(x,y_{2}) | \le K | y_{1} - y_{2} | $$ 을 만족하면 $(x_{0} , Y_{0}) \in D^{\circ}$ 에 대해 적절한 구간 $I := [ x_{0} - \alpha , x_{0} + \alpha ]$ 에서 유일해 $Y(x)$ 가 존재한다.
설명
립시츠 조건을 우리에게 익숙한 표현대로 써보면 $$ \left| { f(x,y_{1} ) - f(x,y_{2}) } \over { y_{1} - y_{2} } \right| \le K $$ 와 같이 나타낼 수도 있다. 최악의 경우를 상정해도 $$ K = \max_{(x,y) \in D} \left| {{ \partial f(x,y) } \over { \partial y }} \right| $$ 이므로, $f$ 의 도함수가 바운디드라는 것이나 진배없는 조건이 된다. 이것은 적어도 초기값 $( x_{0} , Y_{0} )$ 에 대해서 함수값이 급격하게 변할 일이 없다는 것으로, 개중엔 풀기 쉬운 문제라는 뜻이 된다.
이러한 조건은 해의 안정성stability이라는 개념을 설명하기 위해 필요하다. 가정에서 주어진 초기값 문제에서 조금의 변동 $\delta (x)$, $\epsilon$ 이 추가된 $$ \begin{cases} y ' (x ; \epsilon) = f(x, Y(x ;\epsilon ) ) + \delta (x) \\ Y( x_{0} ; \epsilon ) = Y_{0} + \epsilon \end{cases} $$ 을 생각해보자. 두 문제는 수학적으로 완전히 다르긴 하지만, $| \delta |$ 와 $ | \epsilon |$ 이 충분히 작고 립시츠 조건도 만족한다면 다음이 성립한다.
$D \subset \mathbb{R}^2$ 에서 정의된 연속함수 $f$ 에 대해 초기값 문제 $\begin{cases} y ' (x ; \epsilon) = f(x, Y(x ;\epsilon ) ) + \delta (x) \\ Y( x_{0} ; \epsilon ) = Y_{0} + \epsilon \end{cases}$ 가 주어져 있다. $f$ 가 립시츠 조건을 만족하면 $(x_{0} , Y_{0}) \in D^{\circ}$ 에 대해 적절한 구간 $I := [ x_{0} - \alpha , x_{0} + \alpha ]$ 과 충분히 작은 $\epsilon_{0} >0$ 에 대해 $| \epsilon | \le \epsilon_{0}$ 과 $ | \delta |_{\infty}$ 를 만족하는 유일해 $Y(x ; \delta, \epsilon )$ 가 존재한다.
미분방정식의 풀이에서 안정성이 중요해지는 상황은 수치해석적인 근사해를 신경쓸 때다. 새로운 데이터가 쉴 새 없이 추가되고 있는데 숫자 조금 변한 것 가지고 모델 전체를 갈아엎어야한다면 곤란할 것이다.립시츠 조건을 만족하지 못한다는 건 어떤 경우인지 예를 들어 생각해보자. 초기값 문제 $$ \begin{cases} y ' = 100 y - 101 e^{-x} \\ y( 0 ) = 1 \end{cases} $$ 의 해는 간단하게도 $y = e^{-x}$ 로써 구해진다. 여기서 초기값만 바꿔서 $y(0) = 1 + \epsilon$ 이라 하면 그 해는 $y = e^{-x} + \epsilon e^{100x}$ 인데, $| \epsilon |$ 이 어지간히 작지 않은 이상 오차가 너무 크다. 따라서 초기값을 바꾸지 않았을 때 구한 원래의 해는 사용하기 곤란하고, 이럴 때 조건이 안 좋다ill-conditioned고 한다. 반대로 증가하는 $x$ 에 대해 $\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} {{ \partial f (t, Y(t) ) } \over {\partial y }} dt$ 가 작은 양수에 바운드되어 있다면 조건이 좋다well-conditioned고 한다.인터벌 $I$ 에서 립시츠 연속인 함수들의 집합을 $C^{0,1} ( I )$ 와 같이 나타내기도 한다.