📂위상수학

다양체란

정의 ¹

위상공간 $X$가 아래의 세 조건을 만족시킬 때 $X$를 $n$차원 매니폴드^manifold라 한다.

• (i): 제 2가산이다.
• (ii): 하우스도르프이다.
• (iii): $X$의 모든 점이 $\mathbb{R}^{n}$ 의 열린집합과 위상동형인 네이버후드를 가진다.

$n$차원 매니폴드 $X$ 가 다음 두 가지 유형의 점들을 가질 때 $X$ 는 바운더리를 가진다고 한다.

• (1) 인테리어 포인트: 모든 $x \in X^{\circ}$ 의 네이버후드가 $\mathbb{R}^{n}$ 와 위상동형이다.
• (2) 바운더리 포인트: 모든 $x \in \partial X$ 의 네이버후드가 $U^{n} := \left\{ \mathbf{x} \ | \ \mathbf{x} \in (\mathbb{R}^{+})^{n} \right\}$ 와 위상동형이다.

설명

조건 (iii)와 국소적으로 유클리드 공간이다는 말은 서로 같다. 즉, 매니폴드는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상공간을 말한다. 특히 $1$차원 매니폴드를 커브^curve, $2$차원 매니폴드를 서피스^surface라 한다.

위 예시에서 첫번째와 두번째는 $1$차원 매니폴드지만, 세번째는 꼬인 부분이 있어 $1$차원 매니폴드가 아니다.

특히 바운더리를 갖는 $n$차원 매니폴드 $X$ 와 바운더리를 가지지 않는 $m$차원 매니폴드 $Y$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\partial (X \times Y) = X \times \partial Y$$