📂동역학

이케다 맵

정의

복소수 공간 $\mathbb{C}$ 에서 다음과 같이 동역학계를 정의하는 맵을 이케다 맵^{Ikeda map}이라 한다. $$z \mapsto \mu z \exp \left( i \left[ a + {\frac{ b }{ |z|^{2} + 1 }} \right] \right) + c$$ 복소수를 $z = x + iy$ 이라고 둘 때, 이케다 맵은 주로 실수인 $x, y$ 와 매개변수 $t$ 에 대해서 $a = 0.4$, $b = -6$, $c = 1$ 로 두어서 다음과 같이 나타낸다. $$\begin{align*} x \mapsto& 1 + \mu \left( x \cos t - y \sin t \right) \\ y \mapsto& \mu \left( x \sin t + y \cos t \right) \\ t = & 0.4 - {\frac{ 6 }{ 1 + x^{2} + y^{2} }} \end{align*}$$

설명

이케다 맵은 1979년 일본의 물리학자 켄스케 이케다가 발표한 논문에서 빛이 광학 공진기를 통과할 때의 현상을 단순화한 맵이다¹. 보통 바이퍼케이션 파라미터는 $\mu$ 고, $\mu \ge 0.6$ 일 때 캐어릭하다.

연구적인 측면에서 이런 시스템을 알아두는 것은 논문의 가치를 더하는 방법이 될 수도 있겠다. $2$차원 맵 중에서 캐어릭한 시스템이야 그 유명한 헤논 맵을 비롯해서 얼마든지 찾아볼 수 있지만, 이케다 맵은 수식적으로 훨씬 복잡하기 때문이다².

코드

다음은 이케다 맵의 트래젝터리를 계산하는 줄리아 코드다.

using CSV, DataFrames, Plots

μ = .9
function ikeda(x,y)
    φ = .4 - 6/(1 + x^2 + y^2)
    cosφ = cos(φ)
    sinφ = sin(φ)
    return [1 + μ*(x*cosφ - y*sinφ), μ*(x*sinφ + y*cosφ)]
end

trj_ = [rand(2)]
for t in 1:10000
    push!(trj_, ikeda(trj_[end]...))
end
data = DataFrame(x = first.(trj_), y = last.(trj_))
scatter(data.x, data.y, legend = :none, size = [500, 500], msw = 0, ms = 1, xlabel = "x", ylabel = "y"); png("Ikeda.png")
CSV.write("ikeda.csv", data)