📂추상대수

쉴로브 정리

정리 ¹

소수 $p$ 와 $\gcd (p, m) = 1$ 을 만족하는 어떤 자연수 $m$ 에 대해 $G$ 가 $|G| = p^{n} m$ 인 유한군이라고 하자. $G$ 의 $p$-부분군 중 다른 $p$-부분군에 포함되지 않는 $p$-부분군을 쉴로브 $p$-부분군이라고 한다.

• 제1쉴로브 정리: $G$ 는 $i=1, \cdots , n$ 에 대해 $|P| = p^{i}$ 를 만족하는 $p$-부분군이 존재한다.
• 제2쉴로브 정리: $G$ 의 쉴로브 $p$-부분군 $P_{1}$, $P_{2}$ 에 대해 $P_{2} = g P_{1} g^{-1}$ 를 만족하는 $g \in G$ 가 존재한다.
• 제3쉴로브 정리: $G$ 의 쉴로브 $p$-부분군의 갯수 $N_{p}$ 는 $p$ 로 나눈 나머지가 $1$ 이고 $|G|$ 의 약수다.

설명

쉴로브 $p$-부분군 $P$ 는 사실 정확하게 $|P| = p^{n}$ 를 만족하는 $p$-부분군을 말한다. 집합을 적극적으로 사용하는 추상수학에선 ‘다른 것에 포함되지 않는’ 따위의 표현으로 최대^maximal을 표현하곤 한다.

즉, 쉴로브 $p$-부분군은 다름아닌 $G$ 의 ‘가장 큰’ $p$-부분군이다(물론 크기가 가장 크다고 해서 유일하다는 보장은 없다). 우리의 관심사는 쉴로브 $p$-군이기 때문에, $i = 1, \cdots , n-1$ 까지는 $p$-군이 존재하든 말든 별로 상관 없다.

따라서 제1쉴로브 정리는 사실 ‘$G$ 는 반드시 쉴로브 $p$-부분군을 갖는다’고만 알아둬도 무방하다. 굳이 저런 표현을 쓴 것은 표현을 보나 증명방법을 보나 코시 정리의 일반화기 때문에 썼을 뿐이다.

한편 $P_{2} = g P_{1} g^{-1}$ 를 만족하는 $g \in G$ 가 존재한다는 말을 곧 $P_{1}$, $P_{2}$ 가 서로 켤레^conjugate라 표현하기도 한다. 이에 대해 위의 정리를 깔끔하게 고쳐 쓰면 다음과 같다.

• 제1쉴로브 정리: $G$ 는 쉴로브 $p$-부분군을 갖는다.
• 제2쉴로브 정리: $G$ 의 쉴로브 $p$-부분군 $P_{1}$, $P_{2}$ 는 서로 켤레다.
• 제3쉴로브 정리: $G$ 의 쉴로브 $p$-부분군의 갯수를 $N_{p}$ 라고 하면 $$N_{p} \equiv 1 \pmod{p} \\ N_{p} \mid |G|$$