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일의 자리가 5인 두자리수의 거듭제곱 쉽게하기

공식

일의 자리가 5인 두자리수의 거듭제곱은 위의 사진에 보이는 대로 빠르고 쉽게 계산할 수 있다.결과만 알고 사용해도 상관없지만 왜 이렇게 되는지 궁금한 사람도 있을 것이다.

증명

일의 자리가 $5$인 어떤 두자리수를 $10a+5$라고 하자. 그러면 거듭제곱은 다음과 같다.

$$\begin{align*} (10a+5)(10a+5) =&\ 100a^2+100a+25 \\ =&\ 100a(a+1)+25 \end{align*}$$

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설명

위의 결과를 응용하면 십의 자리가 같지 않은 상황이라도 쉽계 계산할 수 있다.

십의 자리가 1만큼 차이가 날 경우 $25$대신 $75$를 쓰고 십의 자리 곱셈에서 $+1$대신 $+2$를 하면 된다.

$$\begin{align*} (10a+5)\left[ 10(a+1)+5) \right] =&\100a(a+1)+100a+50+25 \\ =&\ 100a(a+2)+75 \end{align*}$$

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이까지 했으면 십의 자리가 $n$만큼 차이날 때의 공식도 만들 수 있겠다는 생각이 들거다.

일의 자리가 5이고 십의 자리 차이가 $n$인 두 두자리수의 곱셈

$$\begin{align*} (10a+5)\left[ 10(a+n)+5 \right] =&\ 100a(a+n)+100a+50n+25 \\ =&\ 100a(a+n+1)+50n+25 \end{align*}$$

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십의 자리 수 중 (작은 수) 곱하기 (큰 수+1)의 결과에 100을 곱한 수와 25 그리고 차이나는 수 만큼 50을 곱해서 더하면 된다. 어려워 보일 수 있는데 막상 해보면 하나도 안 어렵다. $25 \times 75$의 경우라면$2 \times 8=16$이므로 $1600+250+25=1875$일반적인 식을 꼭 외울 필요도 없는게 거듭제곱의 경우나 1만큼 차이나는 경우만 알아도 응용해서 쓸 수 있다.

예시

$$25 \times 75=25(25+50)=25(25+25\times 2)=625+625\times 2=625\times 3=1875$$

혹은

$$25 \times 75=100 \times 16 + 50 \times 5 +25=1600+250+25=1875$$