📂위상수학

우리손 보조정리와 티체 확장 정리

정리

우리손 보조정리 ¹

$X$ 가 정규 공간이면 $A \cap B = \emptyset$ 인 모든 닫힌 집합 $A, B \subset X$ 에 대해 $f(A) = \left\{ 0 \right\}$ 와 $f(B) = \left\{ 1 \right\}$ 를 만족하는 연속 함수 $f:X \to [0,1]$ 가 존재한다.

티체 확장 정리 ²

정규 공간 $X$ 에서 닫힌 집합 $C$ 에 대해 $f : C \to \mathbb{R}$ 가 연속이면 $F |_{C} = f$ 를 만족하는 연속함수 $F : X \to \mathbb{R}$ 가 존재한다.

설명

우리손 보조정리는 위상수학을 사용하는 온갖 분야에 동원되는만큼 적혀있는 말부터가 딱 위상스럽게 생겨먹었다.

티체 확장 정리는 실함수론(확률론) 등지에서 따로 정리라는 이름으로도 안 부를만큼 빈번하게 쓰이는 이론적 토대다.

다만 정규 공간임이 조건인만큼 이 정리들은 그대로 갖다 쓰기엔 녹록치 않은 면이 있다. 그래서인지 일반위상수학에선 어떤 공간의 정규성을 보이기 위해 부단히도 많은 노력을 한다.

• (1): 거리 공간은 정규 공간이다.
• (2): 컴팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.
• (3): 린델뢰프 정칙 공간은 정규 공간이다.

분리성질을 가지는 공간들의 관계를 도식화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

어떤 공간이 정규공간이라는 것은 사실상 분리성질을 거의 모두 가지고 있다는 뜻이다. 만약 $T_{1.5}$ 나 $T_{3.5}$ 같이 해괴한 공간이 있더라도 이런 식의 노테이션을 쓰고 있다면 $T_{4}$ 는 이들의 성질을 갖는다.