클라우지우스 부등식 유도
📂열물리학클라우지우스 부등식 유도
정리
순환 과정에서 다음의 부등식이 성립한다.
∮TδQ≤0
특히 가역 과정이면 다음이 성립한다.
∮TδQrev=∮dS=0
여기서 δ 는 불완전 미분inexact differential, T 는 온도, S 는 엔트로피다.
설명
순환 과정이란 과정을 시작할 때와 끝낼 때 계의 상태가 같은 과정을 말한다. 만약 이 과정 전체가 가역과정이라면 그 폐적분은 항상 0 이고, 그때 Q:=Qrev 와 같은 표현을 사용한다.
증명
가역적인 계
카르노 기관에서의 열과 온도:
QlQh=TlTh
카르노 기관에서는 한 번의 순환에 열 Qh 가 유입되었다가 열 Ql 가 유출되므로, 열은 딱히 순환 과정에서 보존되는 양이 아니지만 온도와 함께 생각해보면
QlQh=TlTh⟹ThQh=TlQl
이므로 가역적인 계에서
Cycle∑TΔQrev=ThQh+Tl−Ql=0
임을 알 수 있다. 이를 적분 꼴로 바꾸면 다음을 얻는다.
∮TδQrev=0
비가역적인 계

우선은 사이클을 유한한 수의 점으로 나눠서 생각하려 한다. 순환 과정의 특정 부분들이 온도가 Tk 인 저장소와 연결되어 있고 δQk 만큼 열이 유입된다고 하자.
열역학 제1법칙:
dU=δQ+δW
내부 에너지의 변화는 없으므로 dU=0 이고, 열역학 제1법칙에 따라 얻을 수 있는 일의 총량 ΔW 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
ΔW=k∑δQk⋯🤔

이제 각각의 지점에서 열 Qk 들이 어떤 카르노 기관을 한 번 거치고 전달된다고 상상해보자. 최초의 열원은 온도 T 로 모든 k번째 카르노 기관과 연결되어 있으며, k번째 카르노 기관은 온도 T 에서 δWk 만큼 일을 내놓고 δQk 만큼의 열을 순환 과정의 특정 부분에 전달한다. 이렇게 부자연스러운 세팅을 하는 이유는 사실 일과 열의 이동을 T→Tk 으로 몰아주어서 복잡한 계산을 피하기 위해서다. 결과적으로는 카르노 기관을 거치면서 온도가 T 인 열원에서 나온 열과 온도의 비가 Tk 인 열원에 도달한 열과 온도의 비와 같아야 하므로
TδQk+δWk=ThδQh=TlδQl=TkδQk
이고, 다시 정리하면 다음을 얻는다.
δWk=δQk(TkT−1)
양변에 합을 취하면 매 순환마다 일의 총량 (ΔW+∑δWk) 을 다음과 같이 얻을 수 있다.
Cycle∑δWk===⟹ΔW+∑δWk=Cycle∑δQk(TkT−1)TCycle∑TkδQk−Cycle∑δQkTCycle∑TkδQk−ΔWTCycle∑TkδQk∵🤔
열역학 제2법칙:
- 클라우지우스: 스스로 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 열을 보내는 과정은 존재하지 않는다.
- 켈빈: 열을 완전히 일로 바꾸는 과정은 존재하지 않는다.
열역학 제2법칙에서 켈빈의 진술에 따르면 열을 완전히 일로 바꾸는 과정은 존재하지 않으므로 ΔW+∑δWk≤0 이고,
TCycle∑TkδQk≤0
이다. T>0 는 절대온도이므로 부등식의 방향을 바꾸지 않고 캔슬할 수 있고,
Cycle∑TkδQk≤0
을 적분꼴로 나타내면 클라우지우스의 부등식을 얻는다.
∮TδQ≤0
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