📂추상대수

제3동형 정리 증명

정리 ¹

$G,G'$ 가 군이라 하자.

• 제1동형 정리: 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$$
• 제2동형 정리: $H \le G$ 이고 $N \triangleleft G$ 면 $$(HN) / N \simeq H / (H \cap N)$$
• 제3동형 정리: $H , K \triangleleft G$ 이고 $K \leq H$ 면 $$G/H \simeq (G/K) / (H/K)$$

동형 정리^{isomorphism theorem}는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다.

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• $\ker$ 은 커널이다.
• $N \triangleleft G$ 은 $N$ 이 $G$ 의 정규부분군임을 의미한다.

설명

동형 정리는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다. 제3동형 정리에서 몫군의 표현을 조금만 고쳐보면 $${{G} \over {H}} \simeq {{ {{G} \over {K}} } \over { {{H} \over {K}} }}$$ 이다. 이것은 분자와 분모에 $\displaystyle {{1} \over {K}}$ 를 곱하는 것과 유사하다.

증명

제2동형 정리와 증명 방법이 거의 똑같은데 $\phi$ 의 정의와 $H$ 가 핵임을 보이는 부분이 다르다. $\phi : G \to (G/K) / (H/K)$ 를 $\phi (g) = gK (H / K)$ 와 같이 정의하자.

$\phi$ 가 전형 사상이고 $H$ 가 $\ker \phi$ 임을 보인 후 제1동형 정리를 쓰면 증명은 끝난다.

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Part 1. $\phi$ 는 함수다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$\begin{align*} && x= y \\ \implies& x K (H / K) = y K (H / K) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*}$$ 이므로 $\phi$ 는 함수다.

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Part 2. $\phi$ 는 준동형 사상이다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$\begin{align*} \phi ( xy ) =& (xyK) ( H / K) \\ =& [ ( a K ) ( b K) ] ( H / K) \\ =& [ (aK) (H / K)] [ (bK) (H / K) ] \\ =& \phi ( x ) \phi ( y ) \end{align*}$$ 이므로 $\phi$ 는 준동형 사상이다.

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Part 3. $\phi$ 는 전사다.

모든 $gK (H / N) \in (G / K) / (H / K )$ 에 대해 $$\phi ( g ) = g K ( H / K )$$ 을 만족하는 $g \in G$ 가 존재하므로 $\phi$ 는 전사다.

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Part 4. $H = \ker ( \phi )$

$( \subset )$ $h \in H$ 이면 $\phi (h) = h K ( H / K ) = K ( H / K )$ 이므로 $$h \in \ker ( \phi )$$

$( \supset )$ $h \in \ker ( \phi)$ 면 $\phi (h) = K ( H / K ) = hK (H / K )$ 에서 $hK = K \in ( H / K )$ 이므로 $$h \in H$$

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Part 5.

제1동형 정리: 준동형 사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : G \to (G/K) / (H/K)$ 은 준동형 사상이고 전사이므로 $$\phi ( G ) = (G/K) / (H/K)$$ 이다. 한편 $H = \ker ( \phi )$ 이므로 제1동형 정리에 의해 다음이 성립한다. $$G/H \simeq (G/K) / (H/K)$$

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