📂추상대수

제2동형 정리 증명

정리 ¹

$G,G'$ 가 군이라 하자.

• 제1동형 정리: 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
• 제2동형 정리: $H \le G$ 이고 $N \triangleleft G$ 면 $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
• 제3동형 정리: $H , K \triangleleft G$ 이고 $K \leq H$ 면 $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

동형 정리^{isomorphism theorem}는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다.

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• $\ker$ 은 커널이다.
• $N \triangleleft G$ 은 $N$ 이 $G$ 의 정규부분군임을 의미한다.

설명

제2동형 정리가 쓰이는 대부분의 경우에서 $HN := \left\{ hn \ | \ h \in H , n \in N \right\}$ 은 두 정규부분군 $H , N \triangleleft G$ 의 곱으로 생각해도 무방한데, 이 때 $HN \triangleleft G$ 임은 간단한 계산을 통해 어렵지 않게 보일 수 있다. 제2동형 정리에서 몫군의 표현을 조금만 고쳐보면 $$ {{HN} \over {N}} \simeq {{H } \over { H \cap N }} $$ 이다. 이것은 분자와 분모에서 공통되는 인수를 지우는, 일종의 ‘약분’으로 볼 수 있을 것이다.

증명

전략: $\phi : HN \to H / ( H \cap N)$ 를 $$ \phi (hn) := h(H \cap N) $$ 와 같이 정의하자. $\phi$ 가 전형 사상이고 $N$ 이 $\ker \phi$ 임을 보인 후 제1동형 정리를 쓰면 증명은 끝난다.

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Part 1. $\phi$ 는 함수다.

• $\phi$ 의 정의역은 $HN$ 이므로 $x \in HN$ 이라 하면 어떤 $h_{x} \in H$ 와 $n_{x} \in N$ 의 곱 $x = h_{x} n_{x}$ 라 나타난다.
• $\phi$ 의 공역은 $H / \left( H \cap N \right)$ 이므로, $\phi$ 의 $x \in HN$ 에 대한 함숫값 $\phi (x)$ 은 $H$ 의 잉여류 $\left( H \cap N \right)$ 에 어떤 원소 $h_{x} \in H$ 가 왼쪽에 곱해진 꼴 $h_{x} \left( H \cap N \right)$ 과 같이 나타난다.

따라서 $x,y \in HN$ 에 대해 $$ \begin{align*} & x = y \\ \implies& h_{x} n_{x} = x = y = h_{y} n_{y} \\ \implies& H \ni h_{y}^{-1} h_{x} = n_{y} n_{x}^{-1} \in N \\ \implies& h_{y}^{-1} h_{x} \in \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} \in h_{y} \left( H \cap N \right) \\ \implies& h_{x} (H \cap N) = h_{y} (H \cap N) \\ \implies& \phi \left( h_{x} n_{x} \right) = \phi \left( h_{y} n_{y} \right) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*} $$ 이므로 $\phi$ 는 함수다.

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Part 2. $\phi$ 는 준동형 사상이다.

$h_{1} n_{1} , h_{2} n_{2} \in HN$ 에 대해 $$ \begin{align*} \phi ( ( h_{1} n_{1} ) ( h_{2} n_{2} ) ) =& \phi ( h_{1} h_{2} n_{1} n_{2} ) \\ =& h_{1} h_{2} (H \cap N) \\ =& h_{1} (H \cap N) h_{2} (H \cap N) \\ =& \phi (h_{1} n_{1} ) \phi ( h_{2} n_{2} ) \end{align*} $$ 따라서 $\phi$ 는 준동형 사상이다.

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Part 3. $\phi$ 는 전사다.

$e$ 가 $N$ 의 항등원이라고 하자. 그러면 모든 $h(H \cap N) \in H / (H \cap N )$ 에 대해 $$ \phi (hn) = h (H \cap N ) $$ 을 만족하는 $h e = h \in HN$ 가 존재하므로 $\phi$ 는 전사다.

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Part 4. $N = \ker ( \phi )$

$( \subset )$ $n \in N$ 이면 $\phi (n) = \phi ( en) = e (H \cap N ) = H \cap N$ 이므로 $$ n \in \ker ( \phi ) $$ $( \supset )$ $hn \in \ker ( \phi)$ 면 $\phi (hn) = H \cap N$ 에서 $hn \in ( H \cap N )$ 이므로 $$ hn \in N $$

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Part 5.

제1동형 정리: 준동형 사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : HN \to H / ( H \cap N)$ 은 준동형 사상이고 전사이므로 $\phi ( NH ) = H / ( H \cap N)$ 이다. 한편 $N = \ker ( \phi )$ 이므로 제1동형 정리에 의해 다음이 성립한다. $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$

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