단열감률의 열역학적 유도
공식
$m$ 을 기체 분자의 질량, $h$를 높이, $T$를 온도라고하면 다음의 식이 성립한다.
$$ \dfrac{dT}{dh} = - {{ \gamma -1} \over { \gamma }} \dfrac{ mg }{k_{B}} $$
이때 $\gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{V}}$ 는 등압 열용량과 등적 열용량의 비율이다.
설명
알다시피 고도가 올라갈수록 기온은 떨어지는데, 그 비율을 수식적으로 나타낸 것이다. 물론 이는 습도와 같은 여러가지 변수들을 전혀 고려하지 않고 열역학만을 이용해 유도한 결과다. 이 때 기체 분자는 고도의 차이만 있을 뿐 외부와 열을 주고받지 않는 단열 과정을 가정한다. 대기에서 바람과 바람이 만날 때 섞이기 보단 따뜻한 바람이 위로, 차가운 바람이 아래로 가는 것을 상상하면 좋다.
유도
Part 1. $\dfrac{T}{p} dp = - \dfrac{mg}{k_{B} T} dh$
두께가 $dh$인 대기가 밀도가 $\rho$일 때 가해지는 압력이 $p$라고 하면 다음이 성립한다.
$$ dp = - \rho g dh $$
$$ pV = N k_{B} T $$
밀도는 질량이 $m$이고 분자가 $N$개일 때 $\rho = Nm$이고, 이상기체 방정식에서 $N = \dfrac{p}{k_{B} T}$ 이므로 다음이 성립한다.
$$ dp = - {{p} \over {k_{B} T}} m g dh $$
조금 더 정리하면 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{T}{p} dp = - {{mg} \over {k_{B}}} dh $$
Part 2. $\dfrac{T}{p} dp = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT$
$p V^{\gamma}$은 상수다.
$p V^{\gamma}$ 은 상수인데, 이상기체 방정식에서 $V^{\gamma} \propto ( p^{-1} T )^{\gamma}$이므로 다음의 식은 상수다.
$$ p V^{\gamma} = p ( p^{-1} T )^{\gamma} = p^{1- \gamma} T^{\gamma} = C $$
위 식의 양변에 로그를 취하면 다음과 같다.
$$ (1- \gamma) \ln p + \gamma \ln T = \ln C $$
전미분을 취하면 다음과 같다.
$$ (1 - \gamma ) {{1} \over {p}} dp + \gamma {{1} \over {T}} dT = 0 $$
정리하면 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{T}{p} dp = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT $$
Part 3.
위의 **Part 1.**과 **Part 2.**의 결과를 종합하면 다음과 같다.
$$ -\dfrac{mg}{k_{B} T} dh = \dfrac{ \gamma }{ \gamma -1} dT $$
정리하면 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{dT}{dh} = - \dfrac{ \gamma -1}{ \gamma } \dfrac{ mg }{k_{B}} $$
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