📂열물리학

기체분자의 평균 운동에너지

공식¹

온도가 $T$인 계에서 기체분자들의 평균 운동에너지는 다음과 같다.

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

설명

기체분자 하나하나에 대해 운동에너지를 구해서 평균을 구하는 것은 비효율적일뿐만 아니라 현실적으로 불가능하다. 하지만 통계적으로 유도한 이 공식에 따르면 운동에너지는 오로지 온도에만 의존하며 구하기도 쉬워진다. 상수배가 하필 $\dfrac{3}{2}$과 같이 기괴하게 나타나는 이유는 우리가 살고 있는 세계를 3차원으로 가정했기 때문이다. 이러한 직관적인 이해가 바탕이 되는 방법이 유도1 이고, 수식적으로 한방에 공식을 이끌어내는게 유도2 다. 어떤 방법을 쓰든 결국 똑같은 말이지만, 맥스웰 분포의 유도과정을 이해했다면 둘 다 쉽고 이해하지 못했다면 둘 다 어려울 것이다.

유도

위에서 말했듯이 유도 방법은 본질적으로 같으나 유도1은 1차원에서의 결과로부터 3차원의 결과를 이끌어내는 것으로, $\frac{3}{2}$ 의 분모가 왜 $3$인지가 유도과정 중에 잘 보인다. 유도2는 3차원에서 한 번에 계산한다.

유도1

기체분자의 질량이 $m$이고 속력이 $v$ 면 운동에너지는 $E_{K} = \frac{1}{2} m v^{2}$ 이므로 평균을 취하면 다음과 같다.

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle $$

이때 $v = (v_{x} , v_{y} , v_{z})$ 이라고 하면 기댓값은 선형이므로 다음과 같다.

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{y}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{z}^{2} \right\rangle $$

기체분자의 속도는 $x$축에 대해 다음과 같은 확률밀도함수가 주어진 분포를 따른다.

$$ g(v_{x}) = \sqrt{ {m} \over {2 \pi k_{B} T } } e^{ - {{m v_{x}^{2} } \over {2 k_{B} T}} } $$

따라서 기댓값을 계산하면 다음과 같다.

$$ \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v_{x}^{2} g(v_{x}) dv_{x} = {{k_{B} T } \over {m}} $$

따라서 3차원에 대해서 계산하면 다음과 같다.

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \left\langle v_{x}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{y}^{2} \right\rangle + \left\langle v_{z}^{2} \right\rangle = {{k_{B} T } \over {m}} + {{k_{B} T } \over {m}} + {{k_{B} T } \over {m}} = {{3k_{B} T } \over {m}} $$

따라서 운동에너지의 기댓값을 구하면 아래와 같다.

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle = {{1} \over {2}} m {{3k_{B} T } \over {m}} = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

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유도2

기체분자의 질량이 $m$이고 속력이 $v$ 면 운동에너지는 $E_{K} = \frac{1}{2} m v^{2}$ 이므로 평균을 취하면 다음과 같다.

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle $$

기체분자의 속력은 확률밀도함수가 $f(v) = \dfrac{4}{\sqrt{ \pi }} \left( \dfrac{m}{2 k_{B} T} \right)^{\frac{3}{2}} v^{2} e^{-\frac{mv^{2}}{2k_{B}} }$ 로 주어진 맥스웰 분포를 따르므로 기댓값을 계산하면 다음과 같다.

$$ \left\langle v^{2} \right\rangle = \int_{0}^{\infty} v^{2} f(v) dv = {{3k_{B} T } \over {m}} $$

따라서 평균 운동에너지는 다음과 같다.

$$ \left\langle E_{K} \right\rangle = {{1} \over {2}} m \left\langle v^{2} \right\rangle = {{1} \over {2}} m {{3k_{B} T } \over {m}} = {{3} \over {2}} k_{B} T $$

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특히 속력의 제곱근을 $v_{\text{rms}} := \sqrt{ \left\langle v^{2} \right\rangle } = \sqrt{ \dfrac{3k_{B} T}{m} }$ 와 같이 나타낸다고 알아두자.