알렉산더 부분기저 정리 증명
정리
$X$ 가 위상공간이라고 하자.
$X$ 는 컴팩트다. $\iff$ $\mathscr{S}$ 의 멤버들로 이루어진 $X$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 갖게끔 하는 $X$ 의 어떤 부분기저 $\mathscr{S}$ 가 존재한다.
설명
컴팩트가 나왔으니 중요성은 말할 필요 없을 것이다.
본 정리는 원래 알렉산더의 스승이 기저에 대해 증명하려고 했던 정리였다. 하지만 기저에 대해서는 증명할 수 없었고, 스승의 유지를 이어받은 알렉산더가 부분기저에 대해 완성했다고 한다.
솔직히 증명은 세팅이 너무 길고 복잡해서 외우는 건 어렵지만 나름 기발한 구석이 있어 한번정도는 직접 해보는 걸 추천한다.
증명
$( \implies )$
$\mathscr{S}$ 는 $X$ 의 위상의 부분집합이므로 자명하다.
$( \impliedby )$
Part 1.
$X$ 가 컴팩트가 아니라고 가정하자.
$\mathscr{C}$ 를 $X$ 가 유한 부분커버를 갖지 않는 열린 커버들의 집합이라고 하면, $X$ 가 컴팩트가 아니라고 가정했으므로 $\mathscr{C} \ne \emptyset$ 이다. 여기서 모든 열린 커버 $C \in \mathscr{C}$ 중에 자기 자신 외엔 초집합이 없는 것만 골라 새로운 집합 $\displaystyle \mathscr{O} : = \bigcup C$ 를 구성하자. 이러한 집합 $\mathscr{O}$ 를 구성할 수 있다는 건 선택 공리에 의해 보장된다.
- 예를 들어 $\left\{ \left\{ 1 \right\} , \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\} , \left\{ 1, 3 \right\} \right\}$ 라면 $\left\{ \left\{ 2 \right\}, \left\{ 1, 3 \right\} \right\}$ 와 같이 ‘부분적으로 가장 큰 집합’을 모은 것이다.
Part 2. 열린 집합 $U_{1} , \cdots , U_{n} \subset X$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} \subset O_{0}$ 를 만족하는 $O_{0} \in \mathscr{O}$ 가 존재하면 $U_{i_{0}} \subset \mathscr{O}$ 를 만족하는 $i_{0}$ 가 존재함을 보인다.
어떤 $O_{0}$ 에 대해 $U_{1} \cap U_{2} \subset O_{0}$ 을 만족하는 열린 집합 $U_{1}$ 과 $U_{2}$ 를 생각해보자. 여기서 $$ U_{1} \notin \mathscr{O} \\ U_{2} \notin \mathscr{O} $$ 라고 가정하자.
$\mathscr{O}$ 의 정의에서 $\mathscr{C}$ 의 부분적으로 가장 큰 열린 커버를 모은 것이었으므로 $$ \mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\} \notin \mathscr{C} \\ \mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\} \notin \mathscr{C} $$ 이어야한다. 그말인즉슨 $\mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\}$ 와 $\mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\}$ 은 $X$ 를 커버하는 유한 부분커버를 가진다는 것이다. 그 유한 부분커버들을 각각 $$ \left\{ O_{1} , \cdots , O_{m} , U_{1} \right\} \subset \mathscr{O} \cup \left\{ U_{1} \right\} \\ \left\{ O_{1}’ , \cdots , O_{l}’ , U_{2} \right\} \subset \mathscr{O} \cup \left\{ U_{2} \right\} $$ 라고 하면 $$ \begin{align*} X \subset& X \cap X \\ \subset& \left( \left( \bigcup_{i=1}^{m} O_{i} \right) \cup U_{1} \right) \cap \left( \left( \bigcup_{i=1}^{l} O_{i} ' \right) \cup U_{2} \right) \\ \subset& \left[ \left( \bigcup_{i=1}^{m} O_{i} \right) \cap \left( \bigcup_{i=1}^{l} O_{i} ' \right) \right] \cup \left( U_{1} \cap U_{2} \right) \end{align*} $$ 그런데 $U_{1} \cap U_{2} \subset O_{0}$ 이라고 했으므로 $\left\{ O_{1} , \cdots , O_{m} , O_{1}’ , \cdots , O_{l} , O_{0} \right\} \in \mathscr{O}$ 는 $X$ 의 유한 부분커버다. 이는 $\mathscr{O}$ 의 정의와 모순이므로 가정인 $$ U_{1} \notin \mathscr{O} \\ U_{2} \notin \mathscr{O} $$ 는 틀렸다. 따라서 $U_{1} \in \mathscr{O}$ 이거나 $U_{2} \in \mathscr{O}$ 이어야하며, $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} U_{i} \subset O_{0}$ 를 만족하는 $O_{0} \in \mathscr{O}$ 가 존재하면 $U_{i_{0}} \subset \mathscr{O}$ 를 만족하는 $i_{0}$ 가 하나는 있어야한다.
Part 3.
$\mathscr{O}$ 는 $X$ 의 열린 커버이므로 모든 $x \in X$ 에 대해 $x \in O_{x}$ 를 만족하는 $O_{x} \in \mathscr{O}$ 가 존재할 것이다. 여기서 $\mathscr{S}$ 는 $X$ 의 부분기저이므로 $$ x \in \bigcap_{i=1}^{m} S_{i} \subset O_{x} $$ 를 만족하는 $S_{1} , \cdots , S_{m} \in \mathscr{S}$ 이 존재할 것이다. 위의 Part 2에서 보인대로라면 $x \in S_{x} \in \mathscr{O}$ 을 만족하는 $S_{x}$ 가 존재한다. 그러면 $\left\{ S_{x} \ | \ x \in X \right\} \subset \mathscr{S}$ 는 $X$ 의 열린 커버가 된다. $\mathscr{S}$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 갖는다고 가정했으므로 $\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} S_{x_{i}}$ 를 만족하는 $x_{1} , \cdots , x_{n} \in X$ 가 존재한다. 그런데 $S_{x_{i}} \in \mathscr{O}$ 인데, $\mathscr{O}$ 는 유한 부분커버를 갖지 않도록 정의되었으므로 모순이다. 따라서 $X$ 는 컴팩트다.
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