칸토어 집합
정의
$$ \begin{align*} I =& \left[ 0, 1 \right] \\ C_{1} =& \left[ 0, {{1} \over {3}} \right] \cup \left[ {{2} \over {3}} , 1 \right] \\ C_{2} =& \left[ 0, {{1} \over {3^2}} \right] \cup \left[ {{2} \over {3^2}}, {{3} \over {3^2}} \right] \cup \left[ {{6} \over {3^2}}, {{7} \over {3^2}} \right] \cup \left[ {{8} \over {3^2}} , 1 \right] \\ &\vdots \\ C_{n} =& \left[ 0, {{1} \over {3^n}} \right] \cup \left[ {{2} \over {3^n}}, {{3} \over {3^n}} \right] \cup \cdots \cup \left[ {{3^n-3} \over {3^n}}, {{3^n-2} \over {3^n}} \right] \cup \left[ {{3^n - 1} \over {3^n}} , 1 \right] \end{align*} $$ 이라고 하자.
$\displaystyle C := \bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n}$ 을 칸토어 집합Cantor set이라 한다.
정리
- [1]: $C = \left\{ x \in I \ | \ x= 0.x_{1} x_{2} \cdots , x_{i} \in \left\{ 0,2 \right\} \right\}$
- [2]: $C$ 는 비가산집합이다.
설명
칸토어 집합은 간단하게 정의되지만 실해석학에서 중요한 예시로 등장한다.
정리 [1]은 칸토어 집합의 모든 원소가 삼진법 전개할 때 $0$ 과 $2$ 만으로 나타낼 수 있다는 의미다. 굳이 증명할 건 없고, 곰곰히 생각해보면 그렇게 어렵지 않게 납득할 수 있을 것이다.
한편 모든 구간들의 길이를 더하면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( {{2} \over {3}} \right)^{n} = 0$ 인데, 비가산집합이라는 게 상당히 흥미롭다. 이 비가산성은 보통 정리 [1]에 칸토어의 대각선 논법을 적용시켜 증명한다. $C$ 와 자연수집합 사이의 일대일대응이 존재하지 않음을 삼진법으로 보이는 것인데, 그 과정에서 별로 배울 게 없다.
조금 더 위상수학다운 증명을 찾아서 정리해놓았으니 참고하도록 하자.
증명
[2]
Part 1.
자명하게도, $C \subset \mathbb{R}$ 이므로, 거리공간이 될 수 있다. $C$ 는 닫힌 구간들의 교집합으로 정의되었으므로 닫힌 집합이다.
하이네-보렐 정리: $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 $E$ 가 컴팩트인 필요충분조건은 $E$ 가 유계고 닫힌 집합이다.
한편 $C \subset [0,1]$ 이므로 유계고, 하이네-보렐 정리에 의해 $C$ 는 컴팩트 공간 이다. 거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치이므로, $C$ 는 완비거리공간이다.
베르의 범주 정리: 모든 완비거리공간은 베르 공간이다.
베르의 범주 정리에 의해 $C$ 는 베르공간이다.
Part 2.
임의의 $c \in C$ 와 $\varepsilon>0$ 에 대해 $B(c, \varepsilon )$ 는 $c$ 가 아닌 점을 적어도 하나 포함한다.
이를 $C$ 가 고립점을 가지지 않는다고 하며, 수식적으로 표현하면 $$ \left( C \setminus \left\{ c \right\} \right) \cap B(c, \varepsilon ) \ne \emptyset $$ 이다. 따라서 전체에서 한 점만 뺀 $C \setminus \left\{ c \right\}$ 은 $C$ 에서 조밀한 집합이다.
Part 3.
$C$ 가 가산 집합이라고 가정하면 $C = \left\{ c_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 으로 나타낼 수 있을 것이다.
베르 공간의 정의: 모든 조밀한 열린 집합의 수열 $\left\{ O_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n}$ 이 조밀한 공간을 베르 공간이라 한다.
Part 1에서 $C$ 가 베르공간임을 보이고 Part 2에서 $C \setminus \left\{ c_{n} \right\}$ 는 조밀한 집합임을 보였으므로, $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( C \setminus \left\{ c_{n} \right\} \right)$ 는 조밀하다. 그런데 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( C \setminus \left\{ c_{n} \right\} \right) = \emptyset$ 이고 $\overline{ \emptyset } \ne C$ 이므로 조밀한 집합이 아니다. 이는 모순이므로, $C$ 는 비가산집합이다.
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