📂위상수학

베르의 범주 정리 증명

정의

위상공간 $X$ 의 모든 조밀한 열린 집합의 수열 $\left\{ O_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n}$ 이 조밀한 공간을 베르 공간^{Baire space}이라 한다.

베르의 범주 정리 ¹

모든 완비거리공간은 베르 공간이다.

증명

Claim: 모든 열린 집합 $U \subset X$ 에 대해 $\displaystyle U \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n} \right) \ne \emptyset$ 이다.

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Part 1.

$X$ 는 거리공간이므로, 열린 집합은 어떤 $x^{ \ast } \in X$ 와 $r^{ \ast } > 0$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ U = B (x^{ \ast },r^{ \ast }) $$

$O_{1}$ 이 $X$ 에서 조밀한 집합이므로, 임의의 $x_{0} \in X$ 와 $r_{0} > 0$ 에 대해 $$ x_{1} \in \left( B(x_{0},r_{0}) \cap O_{1} \right) $$ 이 존재한다. $B(x_{0},r_{0})$ 과 $O_{1}$ 이 열린 집합이므로, $$ B[x_{1} , r_{1} ] \subset \left( B(x_{0}, r_{0}) \cap O_{1} \right) $$ 를 만족하는 $x_{1} \in O_{1}$ 과 $0< r_{1} < 1$ 이 존재한다.

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Part 2.

마찬가지로 $O_{2}$ 이 $X$ 에서 조밀한 집합이므로, $$ x_{2} \in \left( B(x_{1},r_{1}) \cap O_{2} \right) $$ 이 존재한다. $B(x_{1},r_{1})$ 과 $O_{2}$ 이 열린 집합이므로, $$ B[x_{2} , r_{2} ] \subset \left( B(x_{1}, r_{1}) \cap O_{2} \right) $$ 를 만족하는 $x_{2} \in O_{2}$ 와 $\displaystyle 0< r_{2} < {{1} \over {2}}$ 이 존재한다.

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Part 3.

이를 반복하면 $$ B[x_{n}, r_{n}] \subset \left( B(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap O_{n} \right) $$ 를 만족하는 $x_{n} \in O_{n}$ 와 $\displaystyle 0 < r_{n} < {{1} \over {n}}$ 을 계속 잡을 수 있다. $X$ 는 완비공간이므로 코시수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 는 어떤 $x \in B[x_{n},r_{n}] $ 으로 수렴한다. 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ x \in B[x_{n},r_{n}] \subset B(x_{0},r_{0}) $$ 이고 $x \in O_{n}$ 이므로, 다음이 성립한다. $$ B(x_{0},r_{0}) \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} O_{n} \right) \ne \emptyset $$

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설명

베르 범주 정리는 어떤 집합의 기수를 알아내거나 함수해석 등에서 보조정리로써 유용하게 쓰인다.