📂열물리학

이상기체 방정식

공식¹

기체의 분자 수를 $N$, 부피를 $V$, 압력을 $p$, 절대온도를 $T$라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립하며 이를 이상기체 방정식^{ideal gas equation}이라 한다.

$$pV = N k_{B} T$$

이때 $k_{B} = 1.3807 \times 10^{-23} J / K$를 볼츠만 상수^{boltzmann constant}라 한다.

설명

역사적으로 보면 실험법칙으로부터 유도되었다가 후에 기체운동론에서 수식적으로 유도되었다. ‘이상기체’ 방정식이라 부르는 이유는 수식을 유도하는 과정에서 다음과 같은 가정이 쓰였기 때문이다.

• 각 분자 사이에 아무런 힘이 작용하지 않는다. 다시말해 서로 끌어당기지 않는다.
• 각 분자는 크기가 없는 점입자이다.

실제로는 당연히 분자들은 서로 상호작용을 하고, 크기가 있지만 이론의 단순함을 위해 위와 같이 가정한다. 지표면에서 상대성이론을 고려하지 않고 뉴턴역학만을 사용해도 많은 현상을 잘 설명하는 것처럼, 이상기체 방정식도 실제 기체를 잘 설명한다. 실제 기체는 계의 분자량이 적을수록, 온도가 높을수록, 압력이 낮을수록 이상기체와 가까워진다.

이상기체 방정식이 모든 기체 현상을 설명할 수 있는 것은 아니다. 상대론적인 효과를 고려해야할 때는 상대론적 기체모델을, 양자 효과를 고려해야할 때는 양자기체모델을 사용해야한다.

이상기체 방정식의 상수를 몰수 $n$ 에 대해 나타내면 $pV = nRT$ 의 꼴로 쓸 수 있다. 이 때 $R$ 을 기체상수라고 하는데, 열역학에선 대개 꼴과 거의 반반씩 쓰인다.

유도

$$p \propto \dfrac{1}{V}$$

일정한 온도에서 기체의 압력과 부피에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 보일의 법칙^{boyle's law}이라 한다. 후에 보일과 무관하게 에드메 매리어트^{edme Mariotte}도 같은 사실을 발견하여 보일-매리어트 법칙이라고도 한다.

$$V \propto T$$

일정한 압력에서 기체의 부피와 온도에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 샤를의 법칙^{charles’ law}이라 한다.

$$p \propto T$$

기체의 부피가 일정할 때, 온도와 압력에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 게이루삭의 법칙이라 한다. 위의 세 비례식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$p^{2}V \propto T^{2}/V \implies p^{2}V^{2} \propto T^{2} \implies pV \propto T$$

비례상수를 $Nk_{B}$라고 하면 아래의 결과를 얻는다.

$$pV = Nk_{B}T$$