📂정수론

오일러의 완전수 정리 증명

정리 ¹

짝수 $n = 2^{p-1} (2^p - 1)$ 가 완전수면 $2^{p}-1$ 는 메르센 소수다.

설명

언뜻 보면 유클리드 완전수 공식의 역이 되는 것 같지만 짝수에 대해서만 언급되었다는 점이 다르다.

그러나 이 정리는 완전수의 거의 모든 것을 말해주고 있는데, 실제로 홀수 완전수는 아직 발견된 적이 없기 때문이다. 현재까지 홀수 완전수에 대해 밝혀진 사실이라고는 ‘존재한다면 아주 클 것이다’정도밖에 없다.

증명

Part 1.

$n$ 은 완전수이므로 $2n = \sigma (n)$ 다.

시그마 함수의 성질: $\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d$ 에 대해 다음이 성립한다.

• [1]: 소수 $p$ 에 대해 $$\sigma ( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}$$
• [2]: $\gcd (n , m ) = 1$ 이면 $$\sigma (nm) = \sigma (n) \sigma (m)$$

어떤 홀수 $m$ 에 대해 $n = 2^{k} m$ 라고 두면 $$ \begin{align*} 2^{k+1} m =& 2n \\ =& \sigma (n) \\ =& \sigma (2^{k} m) \\ =& \sigma (2^{k} ) \sigma ( m) \\ =& (2^{k+1} - 1) \sigma (m) \end{align*} $$ 정리하면 $(2^{k+1} - 1) \sigma (m) = 2^{k+1} m$ 인데 $2^{k+1} -1$ 은 홀수이므로 $\sigma (m)$ 은 $2^{k+1}$ 의 배수다. 즉 어떤 $c$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} \sigma (m) =& 2^{k+1} c \\ m =& (2^{k+1} - 1) c \end{align*} $$

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Part 2.

$c \ge 1$ 라고 가정해보면 $$ \sigma (m) \ge 1 + c + m = 1 + c + (2^{k+1} -1) c = 1 + 2^{k+1}c $$ 이다. 그러나 $\sigma (m) = 2^{k+1}c$ 였으므로 $2^{k+1}c \ge 1 + 2^{k+1} c$ 인데, 이는 모순이므로 $c=1$ 이다.

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Part 3.

$$ \sigma (m) = 2^{k+1} = (2^{k+1} - 1) + 1 = m+1 $$

$m$ 이 자기 자신과 $1$ 만을 약수로 갖는다는 것은 $m$ 이 소수라는 뜻이다. $m = 2^{k+1} - 1$ 이므로, $m$ 은 메르센 소수다.

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