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이항 분포의 평균과 분산 📂확률분포론

이항 분포의 평균과 분산

공식

X∼Bin(n,p)\displaystyle X \sim \text{Bin} (n,p) 면 E(X)=npVar⁡(X)=npq E(X)=np \\ \Var(X)=npq

  • 여기서 q:=1−pq : = 1-p 다.

유도

전략: 조합을 직접 풀어헤친다. 식이 다소 더럽긴 하지만 고등학교 과정에서 충분히 소화할 수 있다. 한번쯤은 직접 해보도록 하자. 수리통계학을 접하면 조금 더 짧고 간단한 방법으로 증명할 수 있게 된다. 평균이든 분산이든 다음과 같은 이항 분포의 확률 질량 함수에서 시작한다.

이항 분포의 정의: n∈Nn \in \mathbb{N} 과 p∈[0,1]p \in [0,1] 에 대해 다음과 같은 확률 질량 함수를 가지는 이산 확률 분포 Bin(n,p)\text{Bin}(n,p) 를 이항 분포라고 한다. p(x)=(nx)px(1−p)n−x,x=0,1,⋯ ,n p(x) = \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \qquad , x= 0, 1 , \cdots , n

평균

이항 분포 Bin(n,p)\text{Bin} (n,p) 의 확률 질량 함수는 p(k)=nCkpk(1−p)n−kp( k ) = { _n {C} _k } p^{ k } (1-p)^{n-k} 이므로 E(X)=∑k=0nknCkpkqn−k E(X)=\sum _{ k=0 }^{ n }{ k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } k=0\displaystyle k=0 일 때 knCkpkqn−k=0k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } }=0 이므로 E(X)=∑k=1nknCkpkqn−k=∑k=1nkn!(n−k)!k!pkqn−k=np∑k=1n(n−1)!(n−k)!(k−1)!pk−1qn−k \begin{align*} E(X) =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ k\frac { n! }{ (n-k)!k! }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& np\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { (n-1)! }{ (n-k)!(k-1)! }{ p ^ { k - 1 } }{ q ^ { n - k } } } \end{align*} 이때 (n−1)=m,(k−1)=s(n-1)=m, (k-1)=s 이라 하면 E(X)=np∑s=0mm!(m−s)!s!psqm−s=np⋅1=np \begin{align*} E(X) =& np\sum _{ s=0 }^{ m }{ \frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \\ =& np\cdot 1 \\ =& np \end{align*}

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분산

분산의 성질에서 Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2=E(X2)−(np)2\Var (X)=E({ X ^ 2 })- { {E(X)} }^{ 2 } = E(X^{ 2 })- { (np) }^{ 2 } E(X2)=∑k=1nk2n!(n−k)!k!pkqn−k=np∑k=1nk(n−1)!(n−k)!(k−1)!pk−1qn−k \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } \frac { n! }{ (n-k)!k! }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& np\sum _{ k=1 }^{ n }{ k\frac { (n-1)! }{ (n-k)!(k-1)! }{ p ^ { k - 1 } }{ q ^ { n - k } } } \end{align*} (n−1)=m,(k−1)=s\displaystyle (n-1)=m, (k-1)=s 이라 하면 E(X2)=np∑s=0m(s+1)m!(m−s)!s!psqm−s=np(∑s=0msm!(m−s)!s!psqm−s+∑s=0mm!(m−s)!s!psqm−s)=np(∑s=0msm!(m−s)!s!psqm−s+1) \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& np\sum _{ s=0 }^{ m }{ (s+1)\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \\ =& np\left( \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }+\sum _{ s=0 }^{ m }{ \frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \right) \\ =& np\left( \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }+ 1 \right) \end{align*} S∼Bin(m,p)S \sim \text{Bin} (m,p) 의 기댓값은 ∑s=0msm!(m−s)!s!psqm−s=mp\displaystyle \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }=mp 이므로 E(X2)=np(mp+1)=np(n−1)p+1=np(np−p+1)=np(np+q)=(np)2+npq \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& np(mp+1) \\ =& np{(n-1)p+1} \\ =& np(np-p+1) \\ =& np(np+q) \\ =& { (np) ^ 2 }+npq \end{align*} 따라서 Var⁡(X)=E(X2)−(np)2=(np)2+npq−(np)2=npq \begin{align*} \Var (X) =& E(X^{ 2 })-{ (np) ^ 2 } \\ =& { (np) ^ 2 }+npq-{ (np) ^ 2 } \\ =& npq \end{align*}

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