함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유
📂르벡공간 함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유 빌드업 내적의 일반적인 정의 는 다음과 같다.
H H H 벡터 공간 이라고 하자. x , y , z ∈ H x,y,z \in H x , y , z ∈ H α , β ∈ C \alpha, \beta \in \mathbb{C} α , β ∈ C
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → C
\langle \cdot , \cdot \rangle \ : \ H \times H \to \mathbb{C}
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → C
를 내적 이라 정의하고 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) \left( H, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right) ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) 내적공간 이라 한다.
선형성: ⟨ α x + β y , z ⟩ = α ⟨ x , z ⟩ + β ⟨ y , z ⟩ \langle \alpha x + \beta y ,z \rangle =\alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle ⟨ αx + β y , z ⟩ = α ⟨ x , z ⟩ + β ⟨ y , z ⟩ 켤레대칭성: ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ ‾ \langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle} ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ 정부호: ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 and ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0 \langle x,x \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle x,x \rangle = 0\iff x=0 ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 and ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0 특히 함수 공간 에서의 내적은 다음과 같이 정적분을 사용해서 정의 한다.
⟨ f , g ⟩ : = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x
\langle f, g \rangle := \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
⟨ f , g ⟩ := ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x
이렇게 정의하면 ⟨ , ⟩ \langle , \rangle ⟨ , ⟩ 쉽게 보일 수 있지만 , 하필 왜 이렇게 정의하는지는 이해하기 어렵다. 각 성분끼리 곱한 것들의 합이라는 유클리드 공간에서 내적의 정의와 너무 동떨어져있기도 하고 전혀 실용적이지도 않아보이기도 한다. 하지만 알고보면 이러한 정의들은 굉장히 자연스러울뿐만 아니라 함수해석을 알아갈수록 아름답게 맞아떨어져간다.
예시 예시를 통해 이해해보자:
두 벡터 f = ( 1 , 5 , 0 , 4 , 2 , 1 ) \mathbf{f} = ( {\color{blue} 1} , {\color{orange} 5} , 0 , {\color{purple} 4} , {\color{red} 2} , {\color{Green} 1} ) f = ( 1 , 5 , 0 , 4 , 2 , 1 ) g = ( 9 , 6 , 0 , 1 , 2 , 5 ) \mathbf{g} = ( {\color{blue} 9} , {\color{orange} 6} , 0 , {\color{purple} 1} , {\color{red} 2} , {\color{Green} 5} ) g = ( 9 , 6 , 0 , 1 , 2 , 5 )
f ⋅ g = 1 ⋅ 9 + 5 ⋅ 6 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 5 = 52
\mathbf{f} \cdot \mathbf{g} = {\color{blue} 1 \cdot 9 } + {\color{orange} 5 \cdot 6} + 0 \cdot 0+ {\color{purple} 4 \cdot 1 } + {\color{red} 2 \cdot 2 } + {\color{Green} 1 \cdot 5} = 52
f ⋅ g = 1 ⋅ 9 + 5 ⋅ 6 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 5 = 52
이다. 벡터를 성분별로 쪼갠 크기를 막대그래프로 나타내면 다음과 같다.
[ − 3 , 3 ] [-3,3] [ − 3 , 3 ]
f ( x ) : = { 1 , − 3 ≤ x ≤ − 2 5 , − 2 ≤ x < − 1 0 , − 1 ≤ x ≤ 0 4 , 0 ≤ x < 1 2 , 1 ≤ x < 2 1 , 2 ≤ x ≤ 3
f(x) := \begin{cases} 1 & , -3 \le x \le -2
\\ 5 & , -2 \le x < -1
\\ 0 & , -1 \le x \le 0
\\ 4 & , 0 \le x < 1
\\ 2 & , 1 \le x < 2
\\ 1 & , 2 \le x \le 3 \end{cases}
f ( x ) := ⎩ ⎨ ⎧ 1 5 0 4 2 1 , − 3 ≤ x ≤ − 2 , − 2 ≤ x < − 1 , − 1 ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ x < 1 , 1 ≤ x < 2 , 2 ≤ x ≤ 3
g ( x ) : = { 9 , − 3 ≤ x ≤ − 2 6 , − 2 ≤ x < − 1 0 , − 1 ≤ x ≤ 0 1 , 0 ≤ x < 1 2 , 1 ≤ x < 2 5 , 2 ≤ x ≤ 3
g(x) := \begin{cases} 9 & , -3 \le x \le -2
\\ 6 & , -2 \le x < -1
\\ 0 & , -1 \le x \le 0
\\ 1 & , 0 \le x < 1
\\ 2 & , 1 \le x < 2
\\ 5 & , 2 \le x \le 3 \end{cases}
g ( x ) := ⎩ ⎨ ⎧ 9 6 0 1 2 5 , − 3 ≤ x ≤ − 2 , − 2 ≤ x < − 1 , − 1 ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ x < 1 , 1 ≤ x < 2 , 2 ≤ x ≤ 3
를 생각해보자. 그러면
f ( x ) g ( x ) = { 9 , − 3 ≤ x ≤ − 2 30 , − 2 ≤ x < − 1 0 , − 1 ≤ x ≤ 0 4 , 0 ≤ x < 1 4 , 1 ≤ x < 2 5 , 2 ≤ x ≤ 3
f(x) g(x) = \begin{cases} 9 & , -3 \le x \le -2
\\ 30 & , -2 \le x < -1
\\ 0 & , -1 \le x \le 0
\\ 4 & , 0 \le x < 1
\\ 4 & , 1 \le x < 2
\\ 5 & , 2 \le x \le 3 \end{cases}
f ( x ) g ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 9 30 0 4 4 5 , − 3 ≤ x ≤ − 2 , − 2 ≤ x < − 1 , − 1 ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ x < 1 , 1 ≤ x < 2 , 2 ≤ x ≤ 3
이므로, ∫ − 3 3 f ( x ) g ( x ) d x = 52 \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x) g(x) dx = 52 ∫ − 3 3 f ( x ) g ( x ) d x = 52 f ⋅ g \mathbf{f} \cdot \mathbf{g} f ⋅ g
물론 모든 함수가 이렇게 사정좋게 생기진 않았지만, 적분가능한 함수라면 구분구적법 의 아이디어를 적용시킬 수 있다. 애초에 정적분 자체가 쪼개고 곱하고 더하는 것을 포함하므로 ‘내적’이라고 불리는데에 부족함이 없다. 함수의 내적은 유한 차원 벡터의 내적을 무한 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있고, 확실하게 기존에 쓰던 내적의 개념에 커버된다.
