📂추상대수

부분환의 정의와 부분환 판정법

정의 ¹

환 $R$의 부분 집합 $S$가 환 $R$의 연산에 대해서 환의 조건을 만족할 때, $S$를 $R$의 부분환$\mathrm{Subring}$이라고 한다.

한편 $\left\{ 0 \right\}$과 $R$은 환 $R$의 부분환임이 자명하므로 $\left\{ 0 \right\}$과 $R$을 자명한 부분환($\mathrm{trivial\ subring}$)이라 한다.

정리: 부분환 판정법

환 $R$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대해서 $a,\ b$가 $S$의 원소일 때 $a-b,\ ab$도 $S$의 원소이면 $S$는 환 $R$의 부분환이다. 즉, $S$가 뺄셈과 곱셈에 대해서 닫혀있으면 환 $R$의 부분환이다.

증명

$a,\ b$가 부분집합 $S$의 원소일 때 $a-b,\ ab$도 $S$의 원소라고 가정하자.

1. 가정에 따르면 부분군 판정법에 의해 $S$는 덧셈에 대하여 군이다.
2. $S$의 연산은 환 $R$의 연산과 같으므로 자명하게 교환법칙이 성립한다.
3. 가정에 의해 곱셈에 대해 닫혀있음 또한 자명하다.
4. 부분집합 $S$의 연산은 환 $R$의 연산과 같으므로 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하는 것 역시 자명하다.
5. 같은 이유로 부분집합 $S$ 내에서 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙이 성립하는 것도 당연하다.

1~5에 의해 환 $R$의 부분집합 $S$가 두 연산에 대해 닫혀있고, 덧셈에 대해 가환군이며, 곱셈에 대해 결합법칙이 성립하고, 덧셈과 곱셈에 대하여 분배법칙이 성립하므로 $S$는 환이다. 따라서 부분집합 $S$는 환 $R$의 부분환이다.

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