📂미분적분학

지수 함수 사인 함수 코사인 함수의 테일러 전개

정리¹

$$ \begin{equation} { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{equation} $$

설명

지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수의 매클로린 급수는 어려운 테크닉을 사용하지 않고 쉽게 구할 수 있다. 이 셋을 잘 합치면 바로 그 유명한 오일러의 공식이 된다. 하나의 팁으로, 사인은 차수가 홀수인 항만 가지고 코사인은 차수가 짝수인 항만 가진다는 것을 기억해두면 좋다.

증명

$(1)$

${ \left( { { e ^ x } } \right) ^{ (n) } }={ { e ^ x } }$ 이므로

$$ { { e ^ x } }=\frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! } { e }^{ 0 } + \cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } } $$

■

$(2)$

$k=0,1,2, \cdots$ 에 대해

$$ { (\sin x) } ^{ (n) }= \begin{cases} \cos x & , n=4k+1 \\ \pm \sin x & , n=2k \\ -\cos x & , n=4k+3 \end{cases} $$

이므로

$$ { (\sin 0) } ^{ (n) }=\begin{cases} 1 & , n=4k+1 \\ 0 & , n=2k \\ -1 & , n=4k+3 \end{cases} $$

이고, 급수꼴로 나타내면

$$ \begin{align*} \sin x =& \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }0+\left( \frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }1+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }0+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }(-1)+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }0 \right) + \cdots \\ =& \frac { x }{ 1! }-\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+ \cdots \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{align*} $$

정리하면 $\displaystyle \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }$ 을 얻는다.

■

$(3)$

$k=0,1,2, \cdots$ 에 대해

$$ { (\cos x) }^{ (n) } = \begin{cases} \cos x & , n=4k \\ \pm \sin x & , n\neq 2k \\ -\cos x & , n=4k+2 \end{cases} $$

이므로

$$ { (\cos 0) } ^{ (n) } = \begin{cases} 1 & , n=4k \\ 0 & , n\neq 2k \\ -1 & , n=4k+2 \end{cases} $$

이고, 급수꼴로 나타내면

$$ \begin{align*} \cos x =& \left( \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }1+\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }0+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }(-1)+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }0 \right) +\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }1+ \cdots \\ =& \frac { 1 }{ 0! }-\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+ \cdots \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } \end{align*} $$

정리하면 $\displaystyle \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }$ 을 얻는다.

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