지수 함수 사인 함수 코사인 함수의 테일러 전개
📂미분적분학 지수 함수 사인 함수 코사인 함수의 테일러 전개 정리 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !
\begin{equation}
{ { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }
\end{equation}
e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n
sin x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n
\begin{equation}
\sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }
\end{equation}
sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 ( − 1 ) n
cos x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! ( − 1 ) n
\begin{equation}
\cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }
\end{equation}
cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n ( − 1 ) n
설명 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수의 매클로린 급수 는 어려운 테크닉을 사용하지 않고 쉽게 구할 수 있다. 이 셋을 잘 합치면 바로 그 유명한 오일러의 공식 이 된다. 하나의 팁으로, 사인은 차수가 홀수인 항만 가지고 코사인은 차수가 짝수인 항만 가진다는 것을 기억해두면 좋다.
증명 ( 1 ) (1) ( 1 ) ( e x ) ( n ) = e x { \left( { { e ^ x } } \right) ^{ (n) } }={ { e ^ x } } ( e x ) ( n ) = e x
e x = x 0 0 ! e 0 + x 1 1 ! e 0 + x 2 2 ! e 0 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n !
{ { e ^ x } }=\frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! } { e }^{ 0 } +\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! } { e }^{ 0 } + \cdots =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }
e x = 0 ! x 0 e 0 + 1 ! x 1 e 0 + 2 ! x 2 e 0 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ n ! x n
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( 2 ) (2) ( 2 ) k = 0 , 1 , 2 , ⋯ k=0,1,2, \cdots k = 0 , 1 , 2 , ⋯
( sin x ) ( n ) = { cos x , n = 4 k + 1 ± sin x , n = 2 k − cos x , n = 4 k + 3
{ (\sin x) } ^{ (n) }= \begin{cases} \cos x & , n=4k+1
\\ \pm \sin x & , n=2k
\\ -\cos x & , n=4k+3 \end{cases}
( sin x ) ( n ) = ⎩ ⎨ ⎧ cos x ± sin x − cos x , n = 4 k + 1 , n = 2 k , n = 4 k + 3
이므로
( sin 0 ) ( n ) = { 1 , n = 4 k + 1 0 , n = 2 k − 1 , n = 4 k + 3
{ (\sin 0) } ^{ (n) }=\begin{cases} 1 & , n=4k+1
\\ 0 & , n=2k
\\ -1 & , n=4k+3 \end{cases}
( sin 0 ) ( n ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 − 1 , n = 4 k + 1 , n = 2 k , n = 4 k + 3
이고, 급수꼴로 나타내면
sin x = x 0 0 ! 0 + ( x 1 1 ! 1 + x 2 2 ! 0 + x 3 3 ! ( − 1 ) + x 4 4 ! 0 ) + ⋯ = x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n
\begin{align*}
\sin x =& \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }0+\left( \frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }1+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }0+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }(-1)+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }0 \right) + \cdots
\\ =& \frac { x }{ 1! }-\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+ \cdots
\\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }
\end{align*}
sin x = = = 0 ! x 0 0 + ( 1 ! x 1 1 + 2 ! x 2 0 + 3 ! x 3 ( − 1 ) + 4 ! x 4 0 ) + ⋯ 1 ! x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + ⋯ n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 ( − 1 ) n
정리하면 sin x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n \displaystyle \sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } } sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 ( − 1 ) n
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( 3 ) (3) ( 3 ) k = 0 , 1 , 2 , ⋯ k=0,1,2, \cdots k = 0 , 1 , 2 , ⋯
( cos x ) ( n ) = { cos x , n = 4 k ± sin x , n ≠ 2 k − cos x , n = 4 k + 2
{ (\cos x) }^{ (n) } = \begin{cases} \cos x & , n=4k
\\ \pm \sin x & , n\neq 2k
\\ -\cos x & , n=4k+2 \end{cases}
( cos x ) ( n ) = ⎩ ⎨ ⎧ cos x ± sin x − cos x , n = 4 k , n = 2 k , n = 4 k + 2
이므로
( cos 0 ) ( n ) = { 1 , n = 4 k 0 , n ≠ 2 k − 1 , n = 4 k + 2
{ (\cos 0) } ^{ (n) } = \begin{cases} 1 & , n=4k
\\ 0 & , n\neq 2k
\\ -1 & , n=4k+2 \end{cases}
( cos 0 ) ( n ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 − 1 , n = 4 k , n = 2 k , n = 4 k + 2
이고, 급수꼴로 나타내면
cos x = ( x 0 0 ! 1 + x 1 1 ! 0 + x 2 2 ! ( − 1 ) + x 3 3 ! 0 ) + x 4 4 ! 1 + ⋯ = 1 0 ! − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! ( − 1 ) n
\begin{align*}
\cos x =& \left( \frac { { x } ^{ 0 } }{ 0! }1+\frac { { x } ^{ 1 } }{ 1! }0+\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }(-1)+\frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }0 \right) +\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }1+ \cdots
\\ =& \frac { 1 }{ 0! }-\frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+ \cdots
\\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }
\end{align*}
cos x = = = ( 0 ! x 0 1 + 1 ! x 1 0 + 2 ! x 2 ( − 1 ) + 3 ! x 3 0 ) + 4 ! x 4 1 + ⋯ 0 ! 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + ⋯ n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n ( − 1 ) n
정리하면 cos x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! ( − 1 ) n \displaystyle \cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } } cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! x 2 n ( − 1 ) n
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