📂추상대수

부분군의 정의와 부분군 판정법

정의 ¹

군 $G$의 부분 집합 $H$가 군 $G$의 연산에 대해서 군일 때, $H$를 군 $G$의 부분군^subgroup이라고 한다.

정리

부분군 판정법: 군 $G$의 공집합이 아닌 부분집합 $H$에 대해서 $a,\ b$가 $H$의 원소일 때 $ab^{-1}$도 $H$의 원소이면 $H$는 $G$의 부분군이다. 즉, $a,\ b$가 $H$의 원소일 때 $a-b$도 $H$의 원소이면 $H$는 부분군이다.

증명

$a,\ b$가 $H$의 원소일 때 $ab^{-1}$도 $H$의 원소라고 가정하자.이 때 $H$가 군이 될 조건 3가지를 만족하는지 확인하면 된다.

1. $H$의 연산은 군 $G$의 연산과 같기 때문에 결합법칙이 성립하는 것은 자명하다.
2. $a=x,\ b=x$라고 하자. 그러면 $ab^{-1}=xx^{-1}=e$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$는 항등원을 가진다.
3. $a=e,\ b=x$라고 하자. 그러면 $ex^{-1}=x^{-1}$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$의 임의의 원소 $b$는 역원을 가진다.
4. 3에 의해 어떤 원소라도 역원을 가지는 것을 확인했으므로 $a=x,\ b=-y$라고 하자. 그러면 $x(y^{-1})^{-1}=xy$이고 가정에 의해 $H$의 원소가 되므로 $H$는 연산에 대해 닫혀있다.

1~4에 의해 $H$는 군 $G$의 연산에 대해 닫혀있고 결합법칙이 성립하며 항등원과 역원을 가지므로 군이다. 따라서 부분집합 $H$는 군 $G$의 부분군이다.

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