📂동역학

박스-카운팅 차원

정의 ^{1 2}

바운디드된 집합 $S \subset \mathbb{R}^{n}$ 이 주어져 있다고 하자. 한 변의 길이가 $\varepsilon$ 인 하이퍼큐브가 $S$ 를 커버할 수 있게끔 하는 최소한의 수를 $N \left( \varepsilon \right)$ 이라 하자. 만약 다음과 같이 정의된 $d = d \left( S \right)$ 가 존재한다면, $d$ 를 $S$ 의 박스-카운팅 차원^{box-counting dimension}이라 한다. $$d \left( S \right) := \lim_{\varepsilon \to \infty} {\frac{ \log N \left( \varepsilon \right) }{ \log \left( 1 / \varepsilon \right) }}$$

설명

박스-카운팅 차원 혹은 박스 차원^{box dimension}은 여전히 리미트 센스에서 정의되기는 했지만, 관점에 따라서는 하우스도르프 차원의 개념이 조금 덜 엄밀하게 완화된 것으로 볼 수도 있다. 주로 프랙털을 설명하기 위해 등장하는데, 우선은 우리가 직관으로 이해하고 있는 선과 면에 대해서도 적절한 정의인지를 체크하자.

곡면

한 변의 길이가 $\varepsilon$ 인 정사각형으로 넓이가 $A$ 인 곡면을 커버한다는 것은 위 그림에서 보이는 바와 같이 넓이가 $\varepsilon^{2}$ 인 $N \left( \varepsilon \right)$ 개의 정사각형들의 넓이의 합이 $A$ 보다 조금 크다는 것이다. 정확히 수치를 비교하는 것은 의미가 없고, $\varepsilon \to 0$ 일 때 다음의 근사는 실제에 가까워질 것이다. $$A \approx \varepsilon^{2} N \left( \varepsilon \right)$$ 여기서 우리는 $A$ 가 어떻게 되든 $N \left( \varepsilon \right)$ 은 $\varepsilon$ 이 작아질수록 점점 커지는 수, 다시 말해 다음과 같은 비례식으로 $N \left( \varepsilon \right)$ 을 설명할 수 있다. $$N \left( \varepsilon \right) \propto {\frac{ 1 }{ \varepsilon^{2} }}$$ 앞서 말했듯 이는 $A$ 와 관계 없이 보편적으로 도출할 수 있는 현상이므로, $A$ 를 생략한 $\left( {\frac{ 1 }{ \varepsilon }} \right)^{2} \propto N \left( \varepsilon \right)$ 의 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} & \log \left( {\frac{ 1 }{ \varepsilon }} \right)^{2} \propto \log N \left( \varepsilon \right) \\ \implies & 2 \propto {\frac{ \log N \left( \varepsilon \right) }{ \log \left( 1 / \varepsilon \right) }} \end{align*}$$

곡선

곡면에서 그러했듯, 길이가 $L$ 인 곡선을 커버하기 위해서 $N \left( \varepsilon \right)$ 개의 정사각형이 필요하다는 것은 $\varepsilon N \left( \varepsilon \right) \approx L$ 이라는 것이다. 물론 정사각형의 대각선은 길이가 $\sqrt{2} \varepsilon$ 기 때문에 보다 적은 정사각형이 필요하겠지만, 앞서 보았듯 결국 리미트 센스에서 생각하는 이상 자잘한 상수곱은 큰 의미가 없다. 곡선에서 $\left( 1 / \varepsilon \right)^{1} \propto N \left( \varepsilon \right)$ 이라는 것은 마찬가지로 다음과 같은 관찰을 이끌어낸다. $$\begin{align*} & \log \left( {\frac{ 1 }{ \varepsilon }} \right)^{1} \propto \log N \left( \varepsilon \right) \\ \implies & 1 \propto {\frac{ \log N \left( \varepsilon \right) }{ \log \left( 1 / \varepsilon \right) }} \end{align*}$$

프랙털

칸토어 집합 $C$ 는 길이가 $1/3$ 인 구간으로 커버하려면 왼쪽과 오른쪽에 적어도 하나씩 해서 총 $2$ 개가 필요하다. 길이가 $1/3^{2}$ 인 구간으로 커버하려면 이번엔 $2^{2}$ 개가 필요하다. 칸토어 집합은 이것이 무한히 이어지고, 길이가 $1/3^{n}$ 인 구간으로 칸토어 집합 $C$ 을 커버하려면 $2^{n}$ 개의 구간이 필요하다. 이를 수식으로 다시 나타내면, $\varepsilon = \left( 1 / 3 \right)^{n}$ 에 대해 $N \left( \varepsilon \right) = 2^{n}$ 이고 그 칸토어 차원은 다음과 같이 계산된다. $$d = \lim_{\varepsilon \to 0} {\frac{ \log N \left( \varepsilon \right) }{ \log \left( 1 / \varepsilon \right) }} = {\frac{ log 2^{n} }{ \log 3^{n} }} = {\frac{ \log 2 }{ \log 3 }} \approx 0.6309$$ 이는 또 다른 프랙털 차원인 유사성 차원으로 계산한 값과 같다.

재미있는 것은 어쨌거나 ‘차원’이라고 하는 것이 정수로 떨어지지 않고 $0$ 과 $1$ 사이에 분수처럼^fractal 나타났다는 점이다. 칸토어 집합이 $0$차원에 있다고 하기엔 무한집합, 그것도 비가산집합이지만 $1$차원에 있다고 하기엔 그 길이가 $0$ 이라서 $0$차원과 $1$차원 사이의 차원을 가진다는 결론이야말로 정답일 수 있다.

같이보기

• 프랙털
• 하우스도르프 차원
• 유사성 차원
• 박스-카운팅 차원
• 상관관계 차원