파동방정식에 대한 코시 문제의 풀이
설명
$$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(0,x) = f(x) \\ u_{t}(0,x) = g(x) \end{cases} $$
위 식은 다음과 같은 파동 방정식
$$ \rho (x) {{\partial^2 u} \over {\partial t^2}} = {{ \partial } \over {\partial x}} \left( \kappa (x) {{ \partial u } \over { \partial x }} \right) $$
에서 밀도density $\rho (x) > 0$ 와 강도stiffness $\kappa (x) > 0$ 가 모두 상수인 경우로써 $\displaystyle c : = {{\kappa} \over {\rho}}$ 를 파속wave speed이라 한다.
여기서 $t$ 는 시간, $x$ 는 위치, $u(t,x)$ 는 시간 $t$ 일 때의 파형을 나타낸다. 여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$와 $g$는 초기 조건으로써 특히 $f$는 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.
코시 문제란 초기값이 주어진 파동방정식 중에서도 경계 조건이 없는 경우를 말한다. 이 때의 해는 간단한 공식의 형태로 나타나며, 이를 달랑베르의 공식d’Alembert’s formula이라 부른다.
풀이
Step 1. $\Box u : = (\partial_{t}^{2} - c^2 \partial_{x}^{2} ) u = u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$
선형 연산자 $\Box$ 를 위와 같이 정의하면
$$ \Box = (\partial_{t}^{2} - c^2 \partial_{x}^{2} ) = (\partial_{t} + c \partial_{x} ) (\partial_{t} - c \partial_{x} ) $$
즉 $\ker ( \Box )$ 의 어떤 원소 $u$ 는 주어진 방정식의 해가 된다.
여기서 $u \in \ker ( \Box )$ 는 $u(t,x) = p (x - ct) + q(x + ct)$ 와 같이 나타낼 수 있다.
Step 2.
초기 조건에 의해 $f(x) = u(0,x) = p(x) + q(x)$이다. 따라서
$$ p(x - ct) = {{f(x +ct) + f(x - ct) } \over {2}} $$
Step 3.
초기 조건에 의해 $f ' (x) = p '(x) + q’(x)$이다. 그리고 $g(x ) = u_{t} (0,x) = -c p '(x) + c q’ (x)$이다.
$$ \begin{align*} &\begin{cases} p '(x) = \dfrac{1}{2} f '(x) + \dfrac{1}{2}g(x) \\ q’(x) = \dfrac{1}{2} f '(x) + \dfrac{1}{2} g(x) \end{cases} \\ \implies& \begin{cases} p(x) = \dfrac{1}{2} f(x) + \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{x} g(z) dz + a \\ q(x) = \dfrac{1}{2} f(x) + \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{x} g(z) dz - a \end{cases} \\ \implies& q(x + ct) = \dfrac{1}{2c} \displaystyle \int_{x - ct}^{x + ct} g(z) dz \end{align*} $$
Step 4. 달랑베르의 공식
정리하면
$$ u(t,x) = {{f(x +ct) + f(x - ct) } \over {2}} + {{1} \over {2c}} \int_{x - ct}^{x + ct} g(z) dz $$
을 얻는다.
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