열방정식의 풀이

설명

$$ u_{t} = \gamma u_{xx} $$

위 식은 다음의 일반화된 열방정식

$$ {{\partial} \over {\partial t}} \left( \sigma (x) u \right) = {{\partial} \over {\partial x }} \left( \kappa (x) {{\partial u} \over {\partial x}} \right) $$

에서 열전도율^{thermal conductivity} $\kappa (x) > 0$ 와 열용량^{heat capacity} $\sigma (x) > 0$ 이 모두 상수인 경우로써 $\displaystyle \gamma : = {{\kappa} \over {\sigma}}$ 을 열확산율^{thermal diffusivity}이라 한다.

여기서 $t$ 는 시간, $x$ 는 위치, $u(t,x)$ 는 시간 $t$ 일 때 열의 분포를 나타낸다. $\gamma$ 는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다.

풀이

기본적인 아이디어는 2계 선형 동차 미분방정식의 풀이에서 가져왔다.

Step 1. $\displaystyle L[ u ] := -\gamma {{\partial^2 u} \over { \partial x^2 }} $
선형 연산자 $L$ 을 위와 같이 정의하고 해가 $u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X)$ 로 나타난다고 가정해보면
$$ \displaystyle u_{t} = {{ \partial u} \over {\partial t}} = - \lambda e^{-\lambda t} v(x) \\ \displaystyle u_{xx} = {{ \partial ^2 u} \over {\partial x^2}} = e^{-\lambda t} v '' (x) $$
$u$ 가 주어진 방정식의 해라면
$$ u_{t} = \lambda e^{- \lambda t } v = - \gamma e^{- \lambda t } v '' = u_{xx} $$
을, 정리하면 $\lambda v = -\gamma v ''$ 를 만족할 것이다. 이를 선형 연산자 $L$ 에 대해 나타내면 $\displaystyle L[v] = -\gamma v ''$ 이므로 $L[v] = \lambda v$ 와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 비자명해 $v \ne 0$ 에 대해 $\lambda$를 $L$의 고유값이라고 하고 $v$를 $\lambda$에 대한 고유함수라고 한다.
Step 2. 상미분방정식 $\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0$ 의 풀이
$v(x) = e^{z x }$ 라고 가정하면
$$ v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 \implies z^2 e^{zx} + {{\lambda } \over {\gamma}} e^{zx} = 0 \implies z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 $$ 결국 $\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0$ 를 푼다는 것은 특성방정식 $\displaystyle z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0$ 을 푼다는 것이다.
Step 3.
$u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X)$ 을 해의 후보로 두었으므로 $v(x)$ 만 구하면 풀이가 끝난다.
- Case 1. $\lambda < 0$
  특성방정식의 해는 $\displaystyle z = \pm \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} }$ 이므로 기본해는
  $$ z = e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
  따라서 해는 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
  $$ u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right) $$
- Case 2. $\lambda = 0$
  특성방정식의 해는 $\displaystyle z = 0$ 이므로 기본해는 $\displaystyle z = 1, x$따라서 해는 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
  $$ u(t,x) = c_{1} + c_{2} x $$
- Case 3. $\lambda > 0$
  특성방정식의 해는 $\displaystyle z = \pm i \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} }$ 이므로 기본해는
  $$ z = e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
  따라서 해는 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
  $$ u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right) $$
- Case 4. $\lambda \notin \mathbb{R}$
  $\lambda = r e^{i \theta}$ 로 나타내도록 하자.
  $\displaystyle z^2 = - {{\lambda} \over {\gamma}} = {{r } \over {\gamma}} e^{ i \theta}$ 이므로 기본해는
  $$ z = \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} }, \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } $$
  따라서 해는 어떤 상수 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해
  $$ u(t,x) = \exp \left( r e^{i \theta} t \right) \left[ c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) \right] $$
  다만 여기서 $\lambda$ 가 정말 고유값이 되는지는 별도의 체크가 필요하다.

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