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열방정식의 풀이 📂편미분방정식

열방정식의 풀이

설명

ut=γuxx u_{t} = \gamma u_{xx}

위 식은 다음의 일반화된 열방정식

∂∂t(σ(x)u)=∂∂x(κ(x)∂u∂x) {{\partial} \over {\partial t}} \left( \sigma (x) u \right) = {{\partial} \over {\partial x }} \left( \kappa (x) {{\partial u} \over {\partial x}} \right)

에서 열전도율thermal conductivity κ(x)>0\kappa (x) > 0 와 열용량heat capacity σ(x)>0\sigma (x) > 0 이 모두 상수인 경우로써 γ:=κσ\displaystyle \gamma : = {{\kappa} \over {\sigma}} 을 열확산율thermal diffusivity이라 한다.

여기서 tt 는 시간, xx 는 위치, u(t,x)u(t,x) 는 시간 tt 일 때 열의 분포를 나타낸다. γ\gamma 는 열확산율로써 크면 클수록 분포의 변화가 빠르다.

풀이

기본적인 아이디어는 2계 선형 동차 미분방정식의 풀이에서 가져왔다.

  • Step 1. L[u]:=−γ∂2u∂x2\displaystyle L[ u ] := -\gamma {{\partial^2 u} \over { \partial x^2 }}

    선형 연산자 LL 을 위와 같이 정의하고 해가 u(t,x)=e−λtv(X)u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X) 로 나타난다고 가정해보면

    ut=∂u∂t=−λe−λtv(x)uxx=∂2u∂x2=e−λtv′′(x) \displaystyle u_{t} = {{ \partial u} \over {\partial t}} = - \lambda e^{-\lambda t} v(x) \\ \displaystyle u_{xx} = {{ \partial ^2 u} \over {\partial x^2}} = e^{-\lambda t} v '' (x)

    uu 가 주어진 방정식의 해라면

    ut=λe−λtv=−γe−λtv′′=uxx u_{t} = \lambda e^{- \lambda t } v = - \gamma e^{- \lambda t } v '' = u_{xx}

    을, 정리하면 λv=−γv′′\lambda v = -\gamma v '' 를 만족할 것이다. 이를 선형 연산자 LL 에 대해 나타내면 L[v]=−γv′′\displaystyle L[v] = -\gamma v '' 이므로 L[v]=λvL[v] = \lambda v 와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 비자명해 v≠0v \ne 0 에 대해 λ\lambda를 LL의 고유값이라고 하고 vv를 λ\lambda에 대한 고유함수라고 한다.

  • Step 2. 상미분방정식 v′′+λγv=0\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 의 풀이

    v(x)=ezxv(x) = e^{z x } 라고 가정하면

    v′′+λγv=0  ⟹  z2ezx+λγezx=0  ⟹  z2+λγ=0 v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 \implies z^2 e^{zx} + {{\lambda } \over {\gamma}} e^{zx} = 0 \implies z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 결국 v′′+λγv=0\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 를 푼다는 것은 특성방정식 z2+λγ=0\displaystyle z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 을 푼다는 것이다.

  • Step 3.

    u(t,x)=e−λtv(X)u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X) 을 해의 후보로 두었으므로 v(x)v(x) 만 구하면 풀이가 끝난다.

    • Case 1. λ<0\lambda < 0

      특성방정식의 해는 z=±−λγ\displaystyle z = \pm \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} } 이므로 기본해는

      z=e−λγx,e−−λγx z = e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      따라서 해는 어떤 상수 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} 에 대해

      u(t,x)=e−λt(c1e−λγx+c2e−−λγx) u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right)

    • Case 2. λ=0\lambda = 0

      특성방정식의 해는 z=0\displaystyle z = 0 이므로 기본해는 z=1,x\displaystyle z = 1, x따라서 해는 어떤 상수 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} 에 대해

      u(t,x)=c1+c2x u(t,x) = c_{1} + c_{2} x

    • Case 3. λ>0\lambda > 0

      특성방정식의 해는 z=±i−λγ\displaystyle z = \pm i \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} } 이므로 기본해는

      z=ei−λγx,e−i−λγx z = e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      따라서 해는 어떤 상수 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} 에 대해

      u(t,x)=e−λt(c1ei−λγx+c2e−i−λγx) u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right)

    • Case 4. λ∉R\lambda \notin \mathbb{R}

      λ=reiθ\lambda = r e^{i \theta} 로 나타내도록 하자.

      z2=−λγ=rγeiθ\displaystyle z^2 = - {{\lambda} \over {\gamma}} = {{r } \over {\gamma}} e^{ i \theta} 이므로 기본해는

      z=rγeiθ2,rγei(θ2+π) z = \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} }, \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) }

      따라서 해는 어떤 상수 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} 에 대해

      u(t,x)=exp⁡(reiθt)[c1exp⁡(rγeiθ2x)+c2exp⁡(rγei(θ2+π)x)] u(t,x) = \exp \left( r e^{i \theta} t \right) \left[ c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) \right]

      다만 여기서 λ\lambda 가 정말 고유값이 되는지는 별도의 체크가 필요하다.

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