정수론에서의 시그마 함수
📂정수론정수론에서의 시그마 함수
정리
σ(n):=d∣n∑d 에 대해 다음이 성립한다.
- [1]: 소수 p 에 대해
σ(pk)=p−1pk+1−1
- [2]: gcd(n,m)=1 이면
σ(nm)=σ(n)σ(m)
설명
시그마 함수는 쉽게 말해 약수의 합으로, 6 을 예로 들자면 σ(6)=1+2+3+6=12 이다. 해석적 정수론에서는 디바이저 함수로 일반화된다.
한편 시그마 함수를 언급함으로써 완전수perfect number를 깔끔하게 정의할 수 있다. 완전수는 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같아지는 수다. 따라서 σ(n)=2n 을 만족하는 n 을 완전수라고 정의하면 된다.
증명
[1]
σ(pk)=1+p+⋯+pk=p−1pk+1−1
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[2]
n 의 약수를 1,dn1,dn2,⋯,dnN,n 그리고 m 의 약수를 1,dm1,dm2,⋯,dmM,m 이라고 하자.
gcd(n,m)=1 이므로
d∣nm∑d=1+dn1+dm1+dn1dm1+⋯+nm
정리하면
d∣nm∑d=(1+dn1+⋯+n)(1+dm1+⋯+m)=d∣n∑dnd∣m∑dm
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