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비점성 버거스 방정식에서의 질량 보존 법칙

정리

$$\begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases}$$

위의 비점성 버거스 방정식의 해 $u$에 대해 구간 $[a,b]$까지의 선질량 $M$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$M_{a,b}(t) := \int_{a}^{b} u(t,x) dx$$

그리고 파열시간을 $t_{\ast}$이라고 하면 $t \in ( 0 , t_{\ast})$에 대해 다음이 성립한다.

$${{d} \over {dt}} M_{a,b}(t) = - \left( {{1} \over {2}} u^2 (t,b) - {{1} \over {2}} u^2 (t,a) \right)$$

설명

파열 시간은 수학적으로는 함수가 아니게 되고 물리적으로는 동시에 여러 상태가 중첩된는 시점을 의미한다.

수식을 쉽게 풀어서 말하자면 질량의 변화량은 들어가는 것과 나가는 것의 알짜합과 같아진다는 의미가 된다.

우변의 $\displaystyle {{1} \over {2}} u^2 (t,b)$ 를 유출^outflux이라 하고 $\displaystyle {{1} \over {2}} u^2 (t,a)$ 를 유입^influx이라 한다. 시간에 따른 $M_{a,b}(t)$ 의 변화량이 음수라는 것은 $[a,b]$ 상에서 $u$ 가 줄어들고 있다는 뜻이므로 유출이 유입보다 크다는 뜻이다. 반대로 양수라는 것은 질량이 커지고 있다는 것이므로 유입이 유출보다 크다는 뜻이 되어 표현와 의미가 잘 맞아 떨어진다.

이를 통틀어 $\displaystyle F(u) := {{1} \over {2}} u^2$ 를 유량 함수^{flux function}라 하면 아래와 같이 깔끔하게 표현할 수 있다.

$${{\partial u} \over {\partial t}} + {{\partial u} \over {\partial x}} F(u) =0$$

이러한 센스에서 버거스 방정식을 아예 $1$차원 상에서의 질량 보존 법칙 으로 부르기도 한다.

유도

$u$ 가 연속함수이므로 다음이 성립한다.

$${{d } \over {dt} } \int_{a}^{b} u(t,x) dx = \int_{a}^{b} {{\partial } \over { \partial t} } u(t,x) dx$$

$u_{t} = - u u_{x}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\int_{a}^{b} {{\partial } \over { \partial t} } u(t,x) dx = - \int_{a}^{b} u u_{x} dx$$

$\displaystyle u u_{x} = {{\partial} \over {\partial x}} \left( {{1 } \over {2}} u^2 \right)$이고 $u_{t} = - u u_{x}$이므로 다음이 성립한다.

$$- \int_{a}^{b} u u_{x} dx = - \int_{a}^{b} {{\partial} \over {\partial x}} \left( {{1} \over {2}} u^2 \right) dx = - \left( {{1} \over {2}} u^2 (t,b) - {{1} \over {2}} u^2 (t,a) \right)$$

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특히 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx < \infty$ 면 $t \in [0,t_{\ast})$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} u(t,x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$