📂수리물리

가우스 정리, 발산 정리

정리¹

3차원 벡터함수 $\mathbf{F}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} \label{1} \end{equation}$$

여기서 $\nabla \cdot \mathbf{F}$는 다이벌전스, $\int_{\mathcal{V}}$는 부피적분, $\oint_{\mathcal{S}}$는 폐곡면적분이다.

설명

이를 가우스 정리^{Gauss’s theorem}, 그린 정리^{Green’s theorem}, 혹은 발산 정리^{divergence theorem}라고 한다. 발산 정리는 특히 전자기학에서 많이 사용된다.

수식적 의미

수식적으로는 면적분을 부피적분으로, 부피적분을 면적분으로 바꾸어 표현할 수 있다는 의미가 있다. 즉 삼중적분과 이중적분을 서로 바꾸어줄 수 있다는 말이다.

물리적 의미

물리적으로는 각각의 점(작은 부피)에서 들어오고 나가는 양의 총 합$\big( \eqref{1}$의 좌변$\big)$은 전체 부피의 표면에서 들어오고 나가는 양의 총 합$\big( \eqref{1}$의 우변$\big)$과 같다는 의미가 있다.

쉬운 예로 어떤 방 안에 사람들이 있다고 생각해보자. 사람들은 방문을 통해서 방에 들어오거나, 방을 나간다. 그리고 2명의 관찰자가 있어서 각각 방안과 방문을 보고 있다고 하자. 총 2명이 방에 들어오고 3명이 방에서 나갔다고 해보자. 그러면 방안의 관찰자가 봤을 때 사람의 변화²는 $|2-3|=1$ 이고, 문지기가 봤을 때 사람의 변화³는 $|3-2|=1$ 이다. ($1$명이 문을 열고 나갔을 때 $+1$로 센다고 하자) 이 둘은 당연히 항상 같다.

증명

각 면의 부피 적분을 전부 더했을 때 발산의 부피적분과 같아지는지 확인해보자. 우선 각 점의 좌표와 각 면의 이름을 아래의 그림과 같다고 하자.

모든 면에 대한 면적분을 더하면 다음과 같다.

$$\int _{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int_ {S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 + \int_ {S_{3}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_ + \int_ {S_{4}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{4} + \int _{S_{5}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{5}+\int _{S_{6}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}_{6}$$

우선 $x$축에 수직한 $S_{1}$, $S_2$면에 대해서 계산해보자. $\mathbf{F}= F_{x} \hat{\mathbf{x}} + F_{y} \hat{\mathbf{y}} + F_{z} \hat{\mathbf{z}}$, 이고 각 면적의 방향은 바깥 방향이다. $\mathbf{F}$의 방향이 $S_{1}$의 방향과 같다고 하자. 그러면 두 면적분은 아래와 같다.

$$\begin{align*} \int _{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int _{S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 &= \int_ {S_{1}} F_{x} dS_{1} - \int _{S_2} F_{x} dS_2 \\ &= \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} F_{x} (x+\Delta x,y,z) dydz - \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} F_{x} (x,y,z) dydz \\ &= \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \bigg[ F_{x} (x+\Delta x,y,z) - F_{x} (x,y,z) \bigg] dydz \end{align*}$$

이 때 미적분학의 기본정리에 의해서 $\displaystyle \int _{a} ^b \dfrac{ dF(x)}{dx}dx=F(b) - F(a)$이므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{align*} & \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \left[ F_{x} (x+\Delta x,y,z) - F_{x} (x,y,z) \right] dydz \\ =&\ \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \left[ \int_{x} ^{x +\Delta x} \dfrac{ \partial F_{x}(x,y,z) }{\partial x} dx \right] dydz \\ =&\ \int_{z}^{z+\Delta z} \int_{y}^{y+\Delta y} \int_{x} ^{x +\Delta x} \dfrac{ \partial F_{x}(x,y,z) }{\partial x} dx dydz \\ =&\ \iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV \end{align*}$$

따라서 아래의 결과를 얻는다.

$$\int_ {S_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int_ {S_2} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV$$

비슷한 방법으로 $S_{3}$, $S_{4}$에 대한 면적분과 $S_{5}$, $S_{6}$에 대한 면적분을 구해보면 다음과 같다.

$$\int _{S_{3}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{1} + \int _{S_{4}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} dV$$

$$\int_ {S_{5}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_{5} + \int_ {S_{6}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}_2 =\iiint \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} dV$$

마지막으로 6면에 대한 면적분을 모두 더하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} &= \iiint \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} dV + \iiint \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} dV +\iiint \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} dV \\ &= \iiint \left[ \dfrac{ \partial F_{x} }{\partial x} + \dfrac{ \partial F_{y} }{\partial y} + \dfrac{ \partial F_{z} }{\partial z} \right] dV \\ &= \iiint \nabla \cdot \mathbf{F} dV \\ &= \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{F} dV \end{align*}$$

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