포물선의 초점을 지나는 직선이 가지는 성질
📂기하학 포물선의 초점을 지나는 직선이 가지는 성질 정리
포물선 y 2 = 4 p x y^2 = 4px y 2 = 4 p x P ( p , 0 ) P(p,0) P ( p , 0 ) A , B A, B A , B 1 P A ‾ + 1 P B ‾ = 1 p
{{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}}
P A 1 + PB 1 = p 1
증명 경우 1. a = b a=b a = b
초점을 지나는 직선이 x = p x = p x = p
P A ‾ = P B ‾ = 2 p \overline{PA} = \overline{PB} = 2p P A = PB = 2 p 1 P A ‾ + 1 P B ‾ = 1 2 p + 1 2 p = 1 p
{{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {2p}} + {{1} \over {2p}}= {{1} \over {p}}
P A 1 + PB 1 = 2 p 1 + 2 p 1 = p 1
경우 2. b ≠ a b \ne a b = a
일반성을 잃지 않고 , b > a b>a b > a
A , B A,B A , B
포물선의 정의에 의해 P A ‾ = p + a \overline{PA} = p + a P A = p + a P B ‾ = p + b \overline{PB} = p + b PB = p + b 4 p a : p + a = 4 p b : p + b
\sqrt{4pa} : p+a = \sqrt{4pb} : p+b
4 p a : p + a = 4 p b : p + b ( p + b ) 4 p a = ( p + a ) 4 p b
(p+b)\sqrt{4pa} = ( p+a ) \sqrt{4pb}
( p + b ) 4 p a = ( p + a ) 4 p b a ( p + b ) 2 = b ( p + a ) 2
a (p+b)^2 = b ( p+a )^2
a ( p + b ) 2 = b ( p + a ) 2 a p 2 + 2 a b p + a b 2 = b p 2 + 2 b a p + b a 2 ⟹ ( b − a ) a b = ( b − a ) p 2
a p^2 + 2 ab p + ab^2 = b p^2 + 2 ba p + ba^2 \implies (b-a) ab = (b-a) p^2
a p 2 + 2 ab p + a b 2 = b p 2 + 2 ba p + b a 2 ⟹ ( b − a ) ab = ( b − a ) p 2 p 2 = a b p^2 = ab p 2 = ab 1 P A ‾ + 1 P B ‾ = 1 p + a + 1 p + b = 2 p + a + b p 2 + ( a + b ) p + a b = 2 p + a + b 2 p 2 + ( a + b ) p = 1 p
\begin{align*}
& {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} }
\\ =& {{1} \over {p+a}} + {{1} \over {p+b}}
\\ =& {{ 2p + a + b } \over {p^2 + (a+b)p + ab}}
\\ =& {{ 2p + a + b } \over {2p^2 + (a+b)p}}
\\ =& {{1} \over {p}}
\end{align*}
= = = = P A 1 + PB 1 p + a 1 + p + b 1 p 2 + ( a + b ) p + ab 2 p + a + b 2 p 2 + ( a + b ) p 2 p + a + b p 1 1 P A ‾ + 1 P B ‾ = 1 p \displaystyle {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}} P A 1 + PB 1 = p 1
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