📂추상대수

근의 공식 유도 무작정 따라하기

공식

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ (단, $a\neq 0$)에 대해 $$x=\dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a}$$

설명

이차방정식이 주어졌을 때 그 근은 공식을 통해 쉽게 구할 수 있다.

유도

전략: 공식 유도의 핵심은 바로 ‘완전제곱꼴로 만드는 것’이다. 수학이 낯선 어린이 친구들을 위해 가능한 세세하게 풀어서 썼다. 말 그대로 무작정 따라하면 되니까 베껴 적는다고 생각하고 여러번 반복해보자.

$$\begin{align*} && ax^{2} + bx + c =& 0 \\ \implies && \ ax^{2} + bx =& -c \\ \implies && x^{2} + \dfrac{b}{a}x =& -\dfrac{c}{a} \\ \implies && x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \left( \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& -\dfrac{c}{a} \text{(완전제곱꼴을 만들기 위한 트릭)} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) -\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } =& -\dfrac{c}{a} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{c}{a} \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} }-\dfrac{ 4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{ b^{2} }{ 4a^{2} } \right) =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && { \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) }^{ 2 } =& \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } \\ \implies && \left( x+\dfrac{b}{2a} \right) =& \pm \sqrt { \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } } \text{(양변에 루트를 취함)} \\ \implies && x+\dfrac{b}{2a} =& \pm \sqrt { \dfrac{ b^{2}-4ac }{ 4a^{2} } } \\ \implies && x+\dfrac{b}{2a} =& \pm \dfrac{ \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \\ \implies && x =& -\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{ \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \\ \implies && x =& \dfrac{ -b\pm \sqrt { b^{2}-4ac } }{2a} \end{align*}$$

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