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지배 수렴 정리 증명 📂측도론

지배 수렴 정리 증명

정리 1

가측집합 E∈ME \in \mathcal{M} 와 g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) 에 대해 가측함수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 이 EE 의 거의 어디서나 ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g 를 만족한다고 하자. 만약 EE 의 거의 어디서나 f=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n} 이면, f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) 이고 lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

설명

단조 수렴 정리와 비교해보자면 fn↗ff_{n} \nearrow f 라는 조건이 빠졌고 심지어 fn≥0f_{n} \ge 0 일 필요도 없어졌다.

재미있게도 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 을 ‘지배’할 수 있는 gg 가 필요하긴 하지만 막상 결과에선 gg 가 나타나지 않는다.

증명

Part 1.

f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) 임을 보이자.

EE 에서 ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g 이므로 모든 x∈Ex \in E 에 대해 −g(x)≤fn≤g(x)-g(x) \le f_{n} \le g(x) 이다. 정리하면 0≤fn(x)+g(x)≤2g(x)0 \le f_{n} (x) + g(x) \le 2 g(x) 인데, n→∞n \to \infty 일때 0≤f(x)+g(x)≤2g(x)0 \le f (x) + g(x) \le 2 g(x) 이므로 (f+g)∈L1(E)(f+g) \in \mathcal{L}^{1}(E) 한편 f=(f+g)+(−g)f = (f + g ) + ( -g) 이고 L1(E)\mathcal{L}^{1}(E) 는 벡터공간이므로 f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) 이다.

Part 2.

fn≥0f_{n} \ge 0 라고 가정하자.

파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 에 대해 ∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

가정과 파투의 보조정리에 의해 ∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm 이고, lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm 만 보이면 된다.

g−fng-f_{n} 에 파투의 보조정리를 다시 적용시켜보면 ∫Elim⁡n→∞(g−fn)dm≤lim inf⁡n→∞∫E(g−fn)dm\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm 이다. 여기서 f,g≥0f, g \ge 0 이므로 좌변은 ∫Elim⁡n→∞(g−fn)dm=∫Egdm−∫Efdm\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm =\int_{E} g dm - \int_{E} f dm 우변은 lim inf⁡n→∞∫E(g−fn)dm=lim inf⁡n→∞(∫Egdm−∫Efndm)=∫Egdm−lim sup⁡n→∞∫Efndm \begin{align*} & \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm \\ =& \liminf_{n \to \infty} \left( \int_{E} g dm - \int_{E} f_{n} dm \right) \\ =& \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \end{align*} 정리하면 ∫Egdm−∫Efdm≤∫Egdm−lim sup⁡n→∞∫Efndm \int_{E} g dm - \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) 이므로 ∫Egdm<∞\displaystyle \int_{E} g dm < \infty 이고 양변에서 소거할 수 있고, 부호를 정리하면 다음을 얻는다. lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm\limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm

Part 3.

fn≥0f_{n} \ge 0 이 아닌 경우에 대해 일반화하자. hn:=fn+gh_{n} := f_{n} + g 라고 정의하면 hn≥0h_{n} \ge 0 이므로 Part 2에서 했던 과정을 반복할 수 있다.

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  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p92. ↩︎