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2계 미분방정식의 두 번째 해를 구하는 방법 📂상미분방정식

2계 미분방정식의 두 번째 해를 구하는 방법

설명1

y′′+p(t)y′+q(t)y=0 \begin{equation} y^{\prime \prime }+p(t)y^{\prime} + q(t)y=0 \end{equation}

위와 같은 미분방정식이 주어졌고, 하나의 해 y1y_{1}을 알고 있다고 하자. 일반해를 y(t)=ν(t)y1(t)y(t)=\nu (t) y_{1}(t)라고 가정하자. yy의 1계, 2계 미분을 구해보면 다음과 같다.

y′=ν′y1+νy1′y′′=ν′′y1+ν′y1′+ν′y1′+νy1′′=ν′′y1+2ν′y1′+νy1′′ \begin{align*} y^{\prime} &= \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \\ y^{\prime \prime} &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + \nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu^ \prime y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \\ &= \nu ^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1}^{\prime \prime} \end{align*}

y′y^{\prime}, y′′y^{\prime \prime}을 (1)(1)에 대입하면,

ν′′y1+2ν′y1′+νy1′′+p(ν′y1+νy1′)+qνy1=0 \nu^{\prime \prime}y_{1} + 2\nu^{\prime} y_{1}^{\prime} + \nu y_{1} ^{\prime \prime} + p \left( \nu^{\prime} y_{1} + \nu y_{1}^{\prime} \right) + q\nu y_{1}=0

ν\nu에 대해서 정리하면,

ν(y1′′+py1′+qy1)+ν′(2y1′+py1)+ν′′y1=0 \begin{equation} \nu \left( y_{1} ^{\prime \prime} + py_{1}^{\prime} + qy_{1} \right) + \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime} y_{1}=0 \end{equation}

이 때 y1y_{1}은 (1)(1)의 해이므로 y1′′+py1′+qy=0y_{1}^{\prime \prime} + py_{1}^ \prime + qy=0이다. 따라서 (2)(2)의 첫 번째 항은 00이고 다시 정리하면 ν′(2y1′+py1)+ν′′y1=0 \nu^{\prime} \left( 2y_{1}^{\prime} + py_{1} \right) + \nu ^{ \prime \prime}y_{1}=0

이 때 미분방정식의 계수를 낮추기 위해서 ν′≡w\nu^{\prime} \equiv w라고 치환하자. 그러면 식은 아래와 같이 1계 미분방정식이 되어 계수가 낮아진다.

w(2y1′+py1)+w′y1=0 w \left( 2y_{1}^{\prime}+ py_{1} \right) + w^{\prime} y_{1}=0

변수분리 등을 이용해서 새로이 얻은 ww에 대한 미분방정식을 풀면 두 번째 해와 일반해를 얻을 수 있다.예제를 통해 구체적으로 알아보자.

예제

2t2y′′+3ty′–y=02t^2 y^{\prime \prime} + 3ty^{\prime} –y=0, t>0t>0, y1=t−1y_{1}=t^{-1}일 때 두 번째 해와 일반해를 구하라.

y=νt−1y=\nu t^{-1}이라고 하면

y′=ν′t−1−νy−2y′′=ν′′t−1−2v′t−2+2νt−3 y^{\prime} = \nu^{\prime} t^{-1} - \nu y^{-2} \\ y^{\prime \prime } = \nu ^{\prime \prime} t^{-1} - 2v^{\prime} t^{-2}+ 2\nu t^{-3}

주어진 미분방정식에 대입하면

2t2(ν′′t−1+2νt−3−2ν′t−2)+3t(ν′t−1−νt−2)−νt−1=0 2t^2 \left( \nu ^{\prime \prime} t^{-1} + 2\nu t^{-3} - 2\nu^{\prime} t^{-2} \right) +3t \left( \nu^{\prime} t^{-1} - \nu t^{-2} \right) -\nu t^{-1} = 0

ν\nu 에 대해서 정리하면 ν\nu항은 00이므로

2tν′′−ν′=0 2t\nu^{\prime \prime} -\nu^{\prime} =0

이 때 ν′≡w\nu^{\prime} \equiv w라고 치환하면

2tw′–w=0  ⟹  2tw′=0  ⟹  1wdw=12tdt  ⟹  ln⁡w=12ln⁡t+C=ln⁡t1/2+C  ⟹  w=Celn⁡t1/2=Ct1/2  ⟹  ν′=w=Ct1/2  ⟹  ν=23Ct32+k \begin{align*} && 2tw^{\prime} –w&=0 \\ \implies && 2t w^{\prime} &=0 \\ \implies && \dfrac{1}{w}dw &= \dfrac{1}{2t}dt \\ \implies && \ln w &= \dfrac{1}{2} \ln t + C = \ln t ^{1/2} +C \\ \implies && w &= Ce^{\ln t^{1/2}} = Ct^{1/2} \\ \implies && \nu^{\prime} &= w=Ct^{1/2} \\ \implies && \nu &= \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \end{align*}

y=νy1=νt−1y=\nu y_{1}=\nu t^{-1}이므로

y=(23Ct32+k)t−1  ⟹  y=23Ct12+kt−1 \begin{align*} && y &=\left( \frac{2}{3}Ct^{\frac{3}{2}} + k \right) t^{-1} \\ \implies && y&=\frac{2}{3}Ct^{\frac{1}{2}} + kt^{-1} \end{align*}

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  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p127-133 ↩︎