logo

회전변환 행렬의 거듭제곱 공식 증명 📂행렬대수

회전변환 행렬의 거듭제곱 공식 증명

정리

모든 자연수 nn 에 대해 다음이 성립한다. [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]n=[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} ^{n} = \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix}

설명

원점을 중심으로 θ\theta만큼 회전하는 일차변환의 행렬을 nn제곱하면 nθn\theta만큼 회전하는 일차변환이 된다.

증명

전략: 상식적으로도 당연하고, 수학적 귀납법을 이용해 쉽게 증명할 수 있다.

(ㄱ):[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]n=[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ] (ㄱ) : \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ n }= \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix}

n=1n=1 일 때, [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} 따라서 (ㄱ)이 성립한다. 이제 n=kn=k 일 때 (ㄱ)이 성립한다고 가정하면 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]k=[cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ] \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k }= \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} 양변에 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta }\end{bmatrix} 을 곱하면 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]k+1=[cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ−(sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ)sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θcos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ]=[cos⁡(k+1)θ−sin⁡(k+1)θsin⁡(k+1)θcos⁡(k+1)θ] \begin{align*} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k+1 } =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta }&{ -(\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta ) } \\ { \sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta }&{ \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos (k+1)\theta }&{ -\sin (k+1)\theta } \\ { \sin (k+1)\theta }&{ \cos (k+1)\theta } \end{bmatrix} \end{align*} 따라서 (ㄱ)이 성립한다.

■