2계 선형 비동차 미분방정식의 일반해
보조정리1
아래와 같은 비동차/동차 2계 선형 미분방정식을 생각해보자.
$$ \begin{align} y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=g(t) \label{eq1} \\ y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=0 \label{eq2} \end{align} $$
이 때 $y_{1} (t)$와 $y_{2} (t)$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이고, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$가 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 기본 해집합이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
$$ y_{1} (t) – y_{2} (t)= c_{1}y_{1} (t)+c_2y_{2}(t) $$
여기서 $c_{1}, c_{2}$는 상수이다.
증명
미분연산자 $L$을 다음과 같이 정의하자.
$$ L[y] := y^{\prime \prime} + p(t)y^\prime + q(t)y $$
그러면 $y_{1}$과 $y_{2}$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이므로
$$ L[y_{1}]=g(t) \quad \text{and} \quad L[y_{2}]=g(t) $$
두 식을 빼면 $L[y_{1}]-L[y_{2}]=g(t)-g(t)=0$이다. 이 때 $L$은 선형 연산자이므로 다음을 만족한다.
$$ L[y_{1}] - L[y_{2}] = L[ y_{1} – y_{2}]=0 $$
$y_{1} – y_{2}$가 $L[y_{1} – y_{2}]=0$을 만족하므로 $y_{1} – y_{2}$는 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 해이다.
또한 동차 미분방정식의 어떤 해라도 기본 집합의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 그러므로 다음이 성립한다.
$$ y_{1} – y_{2}=c_{1}y_{1} + c_2y_{2} $$
■
위의 보조정리를 통해 비동차 미분방정식의 일반해를 이끌어낼 수 있다.
정리
아래와 같은 비동차/동차 2계 선형 미분방정식을 생각해보자.
$$ \begin{align} y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=g(t) \tag{1} \\ y^{\prime \prime}+p(t)y^\prime + q(t)y &=0 \tag{2} \end{align} $$
이 때 $\phi (t), Y(t)$가 비동차 미분방정식 $\eqref{eq1}$의 해이고, $y_{1}, y_{2}$가 동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 기본 해집합이라고 하자. 그러면 비동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 일반해는 다음과 같다.
$$ \phi (t) = c_{1}y_{1} (t) +c_2y_{2} (t) +Y(t) $$
여기서 $c_{1}, c_{2}$는 상수이다.
설명
$c_{1}y_{1} + c_2y_{2}$를 보조해complementary solution라고 한다. $Y$를 특수해particular solution라고 한다. 위의 두 정리로부터 비동차 미분방정식의 일반해를 구하는 과정을 간략하게 나타내면 다음과 같다.
- 비동차 미분방정식을 동차 미분방정식이라고 가정하고 일반해를 구한다. 이를 보조해라고 한다.
- 비동차 미분방정식을 만족하는 임의의 해를 하나 구한다. 이를 특수해라고 한다.
- 보조해와 특수해의 합이 비동차 미분방정식의 일반해가 된다.
증명
$\phi$와 $Y$를 비동차 미분방정식 $\eqref{eq2}$의 임의의 해라고 하자. 보조정리에서 $y_{1}, y_{2}$ 대신에 $\phi, Y$를 대입하자. 그러면 다음과 같은 결과를 얻는다.
$$ \phi – Y = c_{1}y_{1} +c_2y_{2} \implies \phi (t) = c_{1}y_{1} (t) +c_2y_{2}(t) +Y (t) $$
따라서 비동차 미분방정식의 일반해는 동차 미분방정식의 일반해와 비동차 미분방정식의 임의의 해의 합으로 나타난다.
■
William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p134 ↩︎