📂상미분방정식

2계 선형 동차 미분방정식의 풀이

정리¹

$$ay^{\prime \prime} + by^\prime + cy=0$$

위와 같이 주어진 미분방정식의 특성 방정식 $ar^2+br+c=0$의 해를 $r_{1}$, $r_2$라고 하자. 그러면

$\text{1.}$ $r_{1}$, $r_2$가 서로 다른 두 실수인 경우$(b^2-4ac>0)$ 일반해는 다음과 같다. $$y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_2e^{r_2t}$$

$\text{2.}$ $r_{1}$, $r_2$가 켤레 복소수 $\lambda \pm i \mu$인 경우$(b^2-4ac<0)$ 일반해는 다음과 같다.
$$\begin{align*} y(t) &= c_{1}e^{(\lambda + i\mu)t} + c_2e^{(\lambda – i\mu)t} \\ &= c_{3}e^{\lambda t} \cos \mu t + c_{4} e^{\lambda t} \sin \mu t \end{align*}$$

$\text{3.}$ $r_{1}=r_2=r$인 경우$(b^2-4ac=0)$ 일반해는 다음과 같다. $$y(t)=c_{1}e^{rt}+c_2te^{rt}$$

풀이

1. $r_{1} \ne r_2$이고 $r_{1}, r_2\in \mathbb{R}$

일반해는 다음과 같다.

$$y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_2e^{r_2t}$$

여기서 $c_{1}, c_2$는 상수이고 두 초기값 $y(0)=y_{0}$, $y^\prime (0) =y^\prime_{0}$을 알면 정확하게 구할 수 있다.

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2. $r_{1} \ne r_2$이고 $r_{1}, r_2 \in \mathbb{C}$

특성 방정식의 판별식이 $b^2-4ac<0$인 경우이다. $r_{1}$과 $r_2$가 켤레복소수가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$r_{1}=\lambda + i\mu,\quad r_2=\lambda – i\mu$$

그러면 미분방정식의 두 해는 다음과 같다.

$$y_{1}=e^{r_{1}t}=e^{(\lambda + i\mu)t}, y_{2}=e^{(\lambda – i\mu)t}$$

따라서 일반해는 아래와 같다.

$$y(t)=c_{1}e^{(\lambda + i\mu)t} + c_2e^{(\lambda – i\mu)t}$$

여기까지는 1. 과 특별히 다르지 않다. 일반해를 오일러 공식을 이용해 삼각함수로 나타내면

$$\begin{align*} &\ c_{1}e^{(\lambda + i\mu)t} + c_2e^{(\lambda – i\mu)t} \\ =&\ c_{1} e^{\lambda t} (\cos \mu t + i\sin \mu t) + c_2 e^{\lambda t} ( \cos \mu t – i \sin \mu t) \\ =&\ c_{3}e^\lambda \cos \mu t + c_{4} e^\lambda \sin \mu t \end{align*}$$

따라서

$$y(t)=c_{3}e^{\lambda t} \cos \mu t + c_{4} e^{\lambda t} \sin \mu t$$

이때, $c_{4}$는 $i$를 포함하는 복소수 상수이다. 초기값을 알면 $c_{3}$, $c_{4}$를 정확하게 구할 수 있다.

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3. $r_{1}=r_2=r=-\dfrac{b}{2a}$

특성방정식의 판별식이 $b^2-4ac=0$인 경우이다. $y_{1}$은 $y_{1}=e^{\frac{-b}{2a}t}$로 구할 수 있지만 $y_{2}$를 찾을 수 없다. $y_{2}$를 찾기 위해 $y(t)=\nu (t) y_{1}(t)$라고 가정하자. 그러면

$$\begin{align*} y^\prime &= \nu ^\prime y_{1} + \nu y_{1}^\prime \\ y^{\prime \prime}&=\nu^{\prime \prime}y_{1} +\nu ^\prime y_{1}^\prime + \nu^\prime y_{1}^\prime + \nu y_{1}^{\prime \prime}=\nu^{\prime \prime}y_{1}+2\nu ^\prime y_{1}^\prime+ \nu y_{1}^{\prime \prime} \end{align*}$$

$y^\prime$, $y^{\prime \prime}$을 주어진 미분방정식에 대입하면

$$a \left( \nu^{\prime \prime}y_{1}+2\nu ^\prime y_{1}^\prime+ \nu y_{1}^{\prime \prime} \right) + b \left( \nu ^\prime y_{1} + \nu y_{1}^\prime \right) + c\nu y_{1}=0$$

$\nu$에 대해서 정리하면

$$\nu \left( ay_{1}^{\prime \prime} + b y_{1}^{\prime} + cy_{1}\right) + \nu^\prime \left( 2ay_{1}^\prime+by_{1} \right) + ay_{1} \nu ^{\prime \prime}=0$$

여기서 $y_{1}$이 주어진 미분방정식의 해이므로 첫 번째 괄호는 $0$이다. 또한 $y_{1}=e^{(-b/{2a})t}$, $y_{1}^\prime = \frac{-b}{2a}e^{({-b}/{2a})t}$ 이므로

$$\begin{align*} &&\nu^\prime \left( 2a \dfrac{-b}{2a}e^{\frac{-b}{2a}t} + b e^{\frac{-b}{2a}t} \right) + ae^{\frac{-b}{2a}t} \nu ^{\prime \prime}&=0 \\ \implies&& \nu^\prime(-b+b)+a\nu^{\prime \prime}&=0 \\ \implies && \nu^{\prime \prime} &=0 \end{align*}$$

따라서 $\nu (t)=c_{1}+c_2t$이다. 최종적으로 주어진 미분방정식의 일반해는

$$y(t)=\nu (t) y_{1}(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_2ty_{1}(t)=c_{1}e^{rt}+c_2te^{rt}$$

다시 말해 $y_{2}=ty_{1}$인 셈이다.

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예제

1.

$$y^{\prime \prime}+ 5y^\prime + 6y=0 \\ y(0)=2 \\ y^\prime (0)=3$$

특성 방정식은 $r^2+5r+6=0$이다. 즉 $(r+2)(r+3)=0$이므로 $r_{1}=-2$, $r_2=-3$이다. 따라서 일반해는

$$y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_2e^{-3t}$$

일반해를 미분하면

$$y^\prime(t)=-2c_{1}e^{-2t} -3c_2e^{-3t}$$

초기값을 대입하면

$$\begin{cases} c_{1}+c_2=2 \\ -2c_{1}-3c_2=3 \end{cases}$$

연립해서 풀면

$$c_{1}=9,\quad c_2=7$$

따라서 주어진 초기값에 대한 해는

$$y(t)=9e^{-2t}+7e^{-3t}$$

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2.

$$y^{\prime \prime}+4y^\prime + 8y=0$$

특성 방정식은

$$r^2+4r+8=0$$

특성 방정식의 해는

$$r_{1,2}= \dfrac{-4\pm \sqrt{16-32}}{2}=-2 \pm 2i$$

이고 $\lambda=-2$, $\mu=2$이다. 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는

$$y(t)=c_{1}e^{-2t}\cos 2t + c_2 e^{-2t} \sin 2t$$

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3.

$$y^{\prime \prime} + 4y^\prime + 4y=0$$

특성 방정식은

$$r^2+4r+4=(r+2)^2=0$$

특성 방정식의 해는

$$r=-2$$

따라서 $y_{1}(t)=e^{-2t}$이고 일반해는

$$y(t)=c_{1}e^{-2t} + c_2te^{-2t}$$

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