무한급수가 수렴하면 무한수열은 0으로 수렴함을 증명
📂미분적분학 무한급수가 수렴하면 무한수열은 0으로 수렴함을 증명 정리 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} n = 1 ∑ ∞ a n lim n → ∞ a n = 0 \displaystyle \lim _{ n\to \infty }{ { a }_{ n }}=0 n → ∞ lim a n = 0
설명 처음 접하면 직관과 달라 조금 당황스러울 수 있는 정리로, 왜 역이 성리하지 않는지 궁금할 수 있다. 그 대표적인 반례로는 다음과 같은 수열을 생각해볼 수 있다.
a n = 1 n b n = n − n − 1
\begin{align*}
{ a }_{ n }&=\frac { 1 }{ n }
\\
{ b }_{ n }&=\sqrt { n }-\sqrt { n-1 }
\end{align*}
a n b n = n 1 = n − n − 1
두 수열 모두 0으로 수렴하지만 그 합은 무한대로 발산한다. 첫번째의 경우 오렘의 증명 을 참고하도록 하자.
대우 명제를 생각해보면 ‘무한수열이 0으로 수렴하지 않으면 무한급수가 발산한다’가 되는데, 발산 판정법Divergence Test 이라는 이름으로써 무한급수가 발산함을 보이는데 사용된다.
증명 S : = ∑ n = 1 ∞ a n
\begin{align*}
S:=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}
\end{align*}
S := n = 1 ∑ ∞ a n
라 두고 a n a_n a n
a n = ∑ k = 1 n a k − ∑ k = 1 n − 1 a k
\begin{align*}
{ a }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }}-\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ { a }_{ k }}
\end{align*}
a n = k = 1 ∑ n a k − k = 1 ∑ n − 1 a k
양변에 극한을 취하면
lim n → ∞ a n = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n a k − ∑ k = 1 n − 1 a k ) = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 ∞ a n = S − S = 0
\begin{align*}
\lim _{ n\to \infty }{ { a }_{ n }} =& \lim _{ n\to \infty }{ \left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }}-\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ { a }_{ k }} \right) }
\\
=& \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}-\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}
\\
&=S-S
\\
&=0
\end{align*}
n → ∞ lim a n = = n → ∞ lim ( k = 1 ∑ n a k − k = 1 ∑ n − 1 a k ) n = 1 ∑ ∞ a n − n = 1 ∑ ∞ a n = S − S = 0
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