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단조 수렴 정리 증명 📂측도론

단조 수렴 정리 증명

정리 1

함숫값이 음이 아닌 가측 함수수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\}fnff_{n} \nearrow f 을 만족한다고 하자. 그러면 limnEfndm=Efdm \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm

설명

fnff_{n} \nearrow f 이란 모든 xx 에 대해 fn(x)fn+1(x)f_{n}(x) \le f_{n+1} (x) 이면서 limnfn=f\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} = f 인 것이다. 수식은 너무 쉽기 때문에 이 정리를 안다는 것은 ‘조건’을 정확하게 안다는 말이다. 유용성으로 따질 것 같으면 극한이 적분을 마음대로 드나들 수 있다는 뜻이니 두말 할 것도 없다.

증명

fnff_{n} \le f 이므로 lim supnEfndmEfdm \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm

파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 에 대해 E(lim infnfn)dmlim infnEfndm\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

파투의 보조정리와 리미트 인피멈의 성질에 의해 Efdmlim infnEfndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm 이고, 정리하면 lim supnEfndmEfdmlim infnEfndm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm 그런데 당연히 lim infnEfndmlim supnEfndm\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm 이므로 lim supnEfndm=Efdm=lim infnEfndm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm = \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm 이어야한다.

따름정리

함숫값이 음이 아닌 가측 함수수열 {fn}\left\{ f_{n} \right\} 이 거의 어디서나 fnff_{n} \nearrow f 을 만족한다고 하자. 그러면 limnEfndm=Efdm\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm 이고, 특히 n=1fndm=n=1fndm \int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm


  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p84. ↩︎