단조 수렴 정리 증명
📂측도론단조 수렴 정리 증명
정리
함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn} 이 fn↗f 을 만족한다고 하자. 그러면
n→∞lim∫Efndm=∫Efdm
설명
fn↗f 이란 모든 x 에 대해 fn(x)≤fn+1(x) 이면서 n→∞limfn=f 인 것이다. 수식은 너무 쉽기 때문에 이 정리를 안다는 것은 ‘조건’을 정확하게 안다는 말이다. 유용성으로 따질 것 같으면 극한이 적분을 마음대로 드나들 수 있다는 뜻이니 두말 할 것도 없다.
증명
fn≤f 이므로
n→∞limsup∫Efndm≤∫Efdm
파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn} 에 대해
∫E(n→∞liminffn)dm≤n→∞liminf∫Efndm
파투의 보조정리와 리미트 인피멈의 성질에 의해 ∫Efdm≤n→∞liminf∫Efndm 이고, 정리하면
n→∞limsup∫Efndm≤∫Efdm≤n→∞liminf∫Efndm
그런데 당연히 n→∞liminf∫Efndm≤n→∞limsup∫Efndm 이므로
n→∞limsup∫Efndm=∫Efdm=n→∞liminf∫Efndm
이어야한다.
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따름정리
함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 {fn} 이 거의 어디서나 fn↗f 을 만족한다고 하자. 그러면
n→∞lim∫Efndm=∫Efdm
이고, 특히
∫n=1∑∞fndm=n=1∑∞∫fndm