📂측도론

파투의 보조정리 증명

정리 ¹

함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}$ 에 대해 $$ \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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• $\liminf$ 는 리미트 인피멈이다.

설명

실해석에서의 단조 수렴 정리와 지배 수렴 정리를 증명하기 위해 필요한 보조정리다. 가측 함수라는 조건이 빠진 급수에 대한 파투 보조정리는 다음과 같다.

급수 버전: 함숫값이 음이 아닌 함수의 수열 $\left\{ f_{k} : \mathbb{N} \to [0, \infty) \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 에 대해 $$ \sum_{j=1}^{\infty} \liminf_{k \to \infty} f_{k} (j) \le \liminf_{k \to \infty} \sum_{j=1}^{\infty} f_{k} (j) \qquad , \forall j \in \mathbb{N} $$

증명

전략: 단순함수에 대한 감이 있어야한다. 보조정리가 다 그렇듯 유용하지만 증명이 매우 길고 복잡하므로 정신상태가 맑고 건강할 때 보는 것을 권장한다. 급수꼴에 대한 증명도 본질적으로 똑같다.

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Part 1.

$$ f : = \liminf_{n \to \infty} f_{n} \\ \displaystyle g_{n} : = \inf_{k \ge n } f_{k} $$ 이라고 하면 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} g_{n}$ 이다. $$ \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ 를 보이기 위해선 모든 단순 함수 $\phi \le f$ 에 대해 $$ \int_{E} \phi dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ 를 보이면 충분하다.

이제 아주 작은 양수 $\varepsilon > 0$ 에 대해 새로운 단순 함수 $$ \phi_{\varepsilon}(x) := \begin{cases} \phi (x) - \varepsilon & , \phi>0 \\ 0 & , \phi = 0 \end{cases} \ge 0 $$ 를 정의해보자. 그러면 충분히 큰 자연수 $n$ 에 대해 $\phi_{\varepsilon} \le g_{n} \le f$ 이 성립할 것이다. 마지막으로 $A_{k} : = \left\{ x \ | \ g_{k} \ge \phi_{\varepsilon} \right\}$ 을 정의하면 $$ A_{k} \subset A_{k+1} \\ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} = \mathbb{R} $$

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Part 2.

$A_{n}$ 에서 $\phi_{\varepsilon} \le g_{n}$ 이므로 $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm \le \int_{A_{n} \cap E} g_{n} dm $$ $\displaystyle g_{n} = \inf_{k \ge n } f_{k}$ 이었으므로 $k \ge n$ 에서 $$ \int_{A_{n} \cap E} g_{n} dm \le \int_{A_{n} \cap E} f_{k} dm $$ 이다. 한편 $A_{n} \cap E \subset E$ 이므로 $$ \int_{A_{n} \cap E} f_{k} dm \le \int_{E} f_{k} dm $$ 따라서 다음을 얻는다. $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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Part 3.

$\phi_{\epsilon}$ 은 단순 함수였으므로 치역은 유한 집합 $\left\{ c_{1} , c_{2} , \cdots , c_{r} \right\}$ 으로 나타낼 수 있다. $B_{i} := \phi_{\epsilon}^{-1} ( \left\{ c_{i} \right\} )$ 이라고 하면 $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} m (A_{n} \cap E \cap B_{i}) $$

[7]: $A_{n} \in \mathcal{M}$, $\displaystyle A_{n} \subset A_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (A_{n})$

Part 1에서 $A_{n} \subset A_{n+1}$ 이고 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \mathbb{R}$ 이었으므로 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{r} c_{i} m (A_{n} \cap E \cap B_{i}) = \lim_{n \to \infty} \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm $$ 이제 Part 2에서 얻은 결과와 합치면 $$ \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm \le \liminf_{k \to \infty} \int_{E} f_{k} dm $$

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Part 4.

• Case 1. $m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) < \infty$
  $$\displaystyle \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi dm - \varepsilon m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) $$ $\varepsilon \to 0$ 으로 극한을 취하면 다음을 얻는다. $$ \displaystyle \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi dm $$

• Case 2. $m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) = \infty$ $$\displaystyle D_{n} : = \left\{ x \ \left| \ g(x) \ge {{1} \over {2}} \min \left\{ c_{i} \right\}_{i=1}^{n} \right. \right\} $$ 이라고 하면 $$ D_{n} \subset D_{n+1} \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} D_{n} = \mathbb{R} $$ 이므로 $\displaystyle \int_{D_{n} \cap E} g_{n} dm \to \infty$ 이고, $g_{n}$ 의 정의에서 다음을 얻는다. $$ \displaystyle \int_{D_{n} \cap E} g_{n} dm \le \int_{D_{n} \cap E} f_{k} dm \le \int_{E} f_{k} dm $$

따라서 어떤 경우든 모든 단순 함수 $\phi \le f$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \int_{E} \phi dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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