📂편미분방정식

비점성 버거스 방정식의 풀이

정의

다음의 준선형 편미분방정식을 버거스 방정식^{burgers’ equation}이라 한다.

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

여기서 $t$는 시간, $x$는 위치, $u(t,x)$는 시간 $t$일 때 $x$에서의 파형을 나타낸다. $f$는 초기 조건으로써 특히 $t=0$일 때의 파형을 나타낸다.

설명

버거스 방정식은 은$\displaystyle u_{t} + u u_{x} = \nu u_{xx}$ 에서 확산 계수 $\nu$ 가 $0$ 인 경우를 나타낸다.

만약 $f ' (x)>0$ 이면 $x$ 가 클수록 속도가 빠르다는 뜻이므로 특성 곡선은 위와 같이 스파스파^rarefaction를 이룬다. $(t,x)$ 에서의 기울기는 파동의 속도를 의미하는데, 스파스파를 이룬다는 것은 속도가 점점 커지거나 작아지기만 한다는 뜻이다. 이 경우 특성 곡선끼리는 절대로 만나지 않는다.

파형을 그려보면 위와 같이 빠른 점이 더 빠르게 가고 느린 점이 더 느리게 가므로 시간이 갈수록 점점 차이가 벌어진다.

한편 위와 같이 $x$ 가 클수록 속도가 줄어드는 경우, 특성 곡선들은 위와 같이 교차하게 된다.

이 경우 파형을 보면 뒤에 있던 점들이 앞에 있던 점들을 앞질러 버리는 일이 발생하게 된다. 위 그림에선 $t=1$ 일 때를 기점으로 $u$ 가 주어진 $x$ 에 대해 여러개의 값을 가지기 시작한다. 자연 현상에서의 예로는 파도가 생기는 상황을 상상해보면 도움이 될 것이다. 바닥쪽에서 앞서가고 있던 물은 모래나 자갈과 마찰하면서 느려지고 있지만 윗쪽은 힘을 받아서 진행되다 넘어간다. 이를 파열^blow-up이라 하며 수학적으로는 함수가 아니게 되고 물리적으로는 동시에 여러 상태가 중첩된 것이다.

특성 곡선들이 스파스파를 이루는 경우는 해석이 너무 쉽기 때문에 주로 관심을 받는 것은 이 경우 뿐이다.해를 구하는 것 자체는 어렵지 않으나 양함수 꼴로 깔끔하게 바꾸는 게 어렵고, 그렇게 할 수 없는 경우가 부지기수다. 버거스 방정식의 풀이에는 해 외에도 파열 시간^{blow-up time} 과 파열 위치^{blow-uP location}를 구하는 것도 중요한 문제다. 비점성 버거스 방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.

풀이

• Step 1. $\xi = x - tu$ 로 둔다.

• Step 2. $u = f(x - tu)$ 로 둔다.

  그러면 $\xi = x - t f( x - tu) = x - t f (\xi )$ 이므로 특성 직선은 $x = f(\xi) t + \xi$ 가 된다. 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f ' (x) > 0$ 이면 특성 직선들은 스파스파를 이루며 만나지 않는다. $f ' (x) < 0$ 인 $x$ 가 존재하면 특성 직선들은 어떤 점에서 만나 그 점에서 파열한다.

• Step 3. 초기 조건을 $f(x-tu) = f(\xi)$ 의 꼴로 바꾼다.

  만약 $u = f(\xi) = f(x - tu)$ 를 양함수 꼴로 바꿀 수 있으면 바꾼다.

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비점성 버거스 방정식의 해가 유한 시간 내에 파열한다면 그 시간과 위치는 다음과 같다

• Step 1. $u$ 를 양함수의 꼴로 구했다면 $u$ 가 발산하는 $t = t_{\ast}$ 를 찾는다.

  그 $t_{\ast}$ 이 파열 시간이 된다.

• Step 2. 양함수의 꼴로 구하지 못했다면, $f ' (x)$ 를 구한다.

  $$ t_{\ast} : = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} $$

  는 파열 시간이다.

• Step 3. 특성 직선 $x = f(\xi) t + \xi$ 와 $x$ 축이 만나는 점 $x_{0}$ 를 찾는다.

  $x = f(\xi) t + \xi$ 에 $\xi=x_{0}$ 와 $t = t_{\ast}$ 을 대입해서 얻어지는 $x_{*} = x_{0} + f(x_{0}) t_{\ast}$ 는 파열 위치다.

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예제

1

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \alpha (x - tu) + \beta & , t=0 \end{cases}$ 의 파열 시간을 구하라.

$u$ 가 양함수의 꼴로 깔끔하게 나타나는 유형이다.

$u = \alpha ( x - tu ) + \beta$ 를 $u$ 에 대해 정리하면 $\displaystyle u(t,x) = {{\alpha x + \beta} \over {1 + \alpha t}}$ 이고 파열 시간은 $\displaystyle t_{\ast} = - {{1} \over {\alpha}} $

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2

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x & , t=0 \end{cases}$ 의 파열 시간을 구하라.

$u$ 를 양함수의 꼴로 나타내기 번거로운 유형이다.

$$ f ' (x) = \left( {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x \right) = - {{1} \over {1 + x^2}} $$

이고 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $f ' (x) < 0$ 이다. 따라서

$$ t_{\ast} = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = \inf \left\{ \left. (1+ x^2) \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = 1 $$

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